Integrale con Stokes
Buongiorno ragazzi, volevo chiedervi se potreste verificare l'esattezza (o l'inesattezza) del seguente esercizio d'esame:
Calcolare, tramite Stokes, il seguente integrale:
$ int_(deltasigma)^( ) (x+y)dx+(z-y)dy+(xy)dz $ con $ Sigma ={(x,y,x)in R^3: z=x^2+y^2, x^2+y^2<=4} $
Ho calcolato il rotore di F, ottenendo: $ (x-1)i-yj-1k $ e il versore normale $ nu $=(-2x;-2y;1)
A questo punto l'integrale diventa un integrale doppio:
$ int int_(Sigma)^( )(2x-2x^2-2y^2-1) dx dy $ passando a coordinate polari, considerando la circonferenza di raggio 2 e centro in (0,0), l'integrale diventa:
$ int_(0)^(2) rho drhoint_(0)^(2pi) 2rhocostheta-(2rho^2cos^2theta+2rho^2sin^2theta)-1 d theta $
Svolgendo l'integrale all'estrema destra ottengo:
$ int_(0)^(2pi) 2rhocostheta-2rho^2-1 d theta=2rho[sintheta]-2rho^2[theta]-1[theta] $ $ int_(0)^(2pi) 2rhocostheta-2rho^2-1 d theta=2rho[sintheta]-2rho^2[theta]-1[theta]=-4pirho^2-2pi=-4piint_(0)^(2) rho^3 drho -2piint_(0)^(2) rho drho=-4pi[rho^4/4]-2pi[rho^2/2]=-20pi $
Spero siano chiari tutti i passaggi. Ringrazio in anticipo per le risposte, fatemi sapere!
Calcolare, tramite Stokes, il seguente integrale:
$ int_(deltasigma)^( ) (x+y)dx+(z-y)dy+(xy)dz $ con $ Sigma ={(x,y,x)in R^3: z=x^2+y^2, x^2+y^2<=4} $
Ho calcolato il rotore di F, ottenendo: $ (x-1)i-yj-1k $ e il versore normale $ nu $=(-2x;-2y;1)
A questo punto l'integrale diventa un integrale doppio:
$ int int_(Sigma)^( )(2x-2x^2-2y^2-1) dx dy $ passando a coordinate polari, considerando la circonferenza di raggio 2 e centro in (0,0), l'integrale diventa:
$ int_(0)^(2) rho drhoint_(0)^(2pi) 2rhocostheta-(2rho^2cos^2theta+2rho^2sin^2theta)-1 d theta $
Svolgendo l'integrale all'estrema destra ottengo:
$ int_(0)^(2pi) 2rhocostheta-2rho^2-1 d theta=2rho[sintheta]-2rho^2[theta]-1[theta] $ $ int_(0)^(2pi) 2rhocostheta-2rho^2-1 d theta=2rho[sintheta]-2rho^2[theta]-1[theta]=-4pirho^2-2pi=-4piint_(0)^(2) rho^3 drho -2piint_(0)^(2) rho drho=-4pi[rho^4/4]-2pi[rho^2/2]=-20pi $
Spero siano chiari tutti i passaggi. Ringrazio in anticipo per le risposte, fatemi sapere!
Risposte
L'impostazione è corretta, ma a me risulta $\int_{\Sigma} (2x-2x^2+2y^2-1) \text{d}x \text{d}y$ a causa del fatto che il prodotto scalare è
$$(x-1,-y,1) \cdot (-2x,-2y,1)=(x-1)(-2x)+(-y)(-2y)+(-1)(1)=-2x^2+2x+2y^2-1$$
Di conseguenza il resto è sbagliato, perché non hai l'identità $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1$.
Ti torna?
$$(x-1,-y,1) \cdot (-2x,-2y,1)=(x-1)(-2x)+(-y)(-2y)+(-1)(1)=-2x^2+2x+2y^2-1$$
Di conseguenza il resto è sbagliato, perché non hai l'identità $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1$.
Ti torna?
Mi torna si! Grazie mille.
Colgo l'occasione per chiederti di togliermi un dubbio, non inerente a questo esercizio (spero di non infrangere nessuna regola non aprendo un post apposito). Stokes afferma che l'integrale doppio lungo una superficie del rotore per il versore normale è uguale all'integrale curvilineo lungo il bordo della superficie stessa. Dunque, facendo l'esempio di avere come superficie un dominio il cui bordo è una circonferenza di raggio unitario centrata in (0,0,0) se consideriamo il bordo, esso sarà parametrizzato considerando il raggio come 1, mentre se consideriamo la superficie (e quindi l'integrale doppio) il raggio sarà $ rho $ (se usiamo le polari) variante fra 0 e 1, poichè mentre il bordo è identificato dalla singola circonferenza di raggio 1 la superficie considera le infinite circonferenze presenti dall'origine fino al bordo stesso, giusto? Per essere più chiaro provo ad esporlo così:
bordo: $ x^2+y^2=1 $
superficie: $ z=x^2+y^2-1 $
parametrizzazione bordo: $ { ( x=1costheta ),( y=1sintheta):} $
parametrizzazione superficie: $ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ),( z=rho^2-1):} $ con $ theta $ compreso fra $ 0 $ e $ 2pi $ e $ rho $ compreso fra $ 0 $ e $ 1 $.
Mi auguro di non aver detto castronerie degne di un permaban immediato per vilipendio alla matematica.
Colgo l'occasione per chiederti di togliermi un dubbio, non inerente a questo esercizio (spero di non infrangere nessuna regola non aprendo un post apposito). Stokes afferma che l'integrale doppio lungo una superficie del rotore per il versore normale è uguale all'integrale curvilineo lungo il bordo della superficie stessa. Dunque, facendo l'esempio di avere come superficie un dominio il cui bordo è una circonferenza di raggio unitario centrata in (0,0,0) se consideriamo il bordo, esso sarà parametrizzato considerando il raggio come 1, mentre se consideriamo la superficie (e quindi l'integrale doppio) il raggio sarà $ rho $ (se usiamo le polari) variante fra 0 e 1, poichè mentre il bordo è identificato dalla singola circonferenza di raggio 1 la superficie considera le infinite circonferenze presenti dall'origine fino al bordo stesso, giusto? Per essere più chiaro provo ad esporlo così:
bordo: $ x^2+y^2=1 $
superficie: $ z=x^2+y^2-1 $
parametrizzazione bordo: $ { ( x=1costheta ),( y=1sintheta):} $
parametrizzazione superficie: $ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ),( z=rho^2-1):} $ con $ theta $ compreso fra $ 0 $ e $ 2pi $ e $ rho $ compreso fra $ 0 $ e $ 1 $.
Mi auguro di non aver detto castronerie degne di un permaban immediato per vilipendio alla matematica.
Sì, detto meglio: una superficie è una funzione $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^n$, quindi hai due variabili in ingresso.
Pertanto il tuo esempio è parametrizzato in maniera corretta!
Pertanto il tuo esempio è parametrizzato in maniera corretta!
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