Integrale con stokes

[victory92]

ragazzi ho il seguente esercizio:
calcolare il flusso del rotore del campo
$ vec(F)_((x,y,z))=(xz,-y,x^2y) $
attraverso le tre facce del tetraedro individuato dai piani x=0, y=0, z=o, x+y+z=4 e che non appartengono al piano y=0 con normale che punta verso l'interno del tetraedro.
volevo sapere quale superficie dovrei usare per applicare il teorema di stokes e fare, in questo modo, solo un integrale di linea. in particolare non capisco perché dice che non appartengono al piano y=0. so che mi sfugge qualcosa ma non so cosa...
EDIT ok credo di aver capito cosa sbagliavo... ora la mia domanda è... se devo calcolare la circuitazione di F lungo il triangolo nel piano xz lo devo percorrere in senso orario o antiorario?

[victory92]

il verso positivo nel triangolo sul piano y=0 dovrebbe essere quello orario giusto? il mio problema era che veniva di segno opposto al risultato (a me veniva 32/3 mentre sul libro c'è scritto -32/3). ma grazie alla tua osservazione posso dedurre che il flusso delle altre 3 superfici era proprio il flusso su quella superficie cambiata di segno grazie mille! la tua osservazione sulla somma dei flussi del rotore di un campo è stata illuminante! XD
EDIT: allora il ragionamento da te applicato lo posso applicare anche a questo esercizio?
calcolare il flusso del rotore del campo
$vecF_((x,y,z))=(2x-y,-yz^2,-y^2z)$
attraverso l'emisfero superiore della sfera unitaria centrata nell'origine con normale che punta verso l'alto.
io questo esercizio l'ho risolto senza applicare il teorema di stokes perché il rotore del campo è semplicemente il vettore (0,0,1) e parametrizzare una semisfera è semplice. a questo punto però potrei calcolare con stokes la circuitazione lungo la circonferenza nel piano z=0 orientata in senso antiorario e cambiarla di segno?

[victory92]

"TeM":[quote="victory92"]il verso positivo nel triangolo sul piano y=0 dovrebbe essere quello orario giusto?

Probabilmente adesso mi odierai, ma tengo a precisare che anche in questo caso "orario/antiorario" non dà
alcuna indicazione univoca sul senso di percorrenza del bordo: dipende dal "punto di vista"!! Vedi pure qui.
[/quote]
infatti io ho precisato che parlavo del triangolo sul piano y=0 (effettivamente dovevo precisare anche che la y era entrante oppure parlare di piano xz). in questo caso ha senso parlare di orario e antiorario. giusto?
nel secondo esercizio che ho scritto la circonferenza sul piano xy (cioè il piano in cui z è uscente) ha verso antiorario? in questo caso l'integrale di flusso viene "pi" in quanto
$ gamma(t)={ ( cost ),( sint ),( 0 ):}$ con $tin[0,2pi] $
$ gamma'(t)={ ( -sint ),( cost ),( 0 ):} $
$ vecF_((gamma'(t)))=( 2cost-sint,0, 0 ) $
$ int_0^(2pi)(2cost-sint)(-sint)dt=[1/2t-1/2sintcost-sin^2t]_0^(2pi)=pi $

[victory92]

si ok per quanto riguarda la definizione di orario/antiorario... ma nell'esercizio se cambio di segno al flusso mi viene sbagliato. cioè io lo percorro in senso positivo (cioè che se mi metto "in piedi", visto che punta verso l'alto, lungo la direzione del vettore e cammino sulla frontiera trovo l'interno della superficie tutto a destra) e mi viene $pi$ ma essendo opposto al flusso della semisfera devo cambiare di segno cioè dovrebbe venire $-pi$. ma il risultato dovrebbe essere $pi$ e non $-pi$! dove sbaglio?
EDIT ovviamente il punto esclamativo non sta per "fattoriale"