Integrale con sostituzione

[DarioBaldini]

Ho provato a risolvere il seguente integrale in svariati modi ma non riesco a trovare quale sia la giusta sostituzione.

$\int sqrt(1+e^(2x))$

Qualcono potrebbe darmi un mano ?

Grazie

[blackbishop13]

$\int sqrt(1+e^(2x))dx$ ti sei dimenticato il $dx$.

io ho trovato una strada, con due sostituzioni.
la prima è scontata: $t=1+e^(2x)$ da cui $x=1/2ln (t-1)$ e $dx=1/(2(t-1))*dt$
sostituisci e ottieni $1/2 int sqrt(t)/(t-1)dt$ , osservi questa cosa $t-1=(sqrt(t)+1)(sqrt(t)-1)$

e allora agguingi $+1-1$ al numeratore e hai $1/2 int sqrt(t)/(t-1)dt=1/2 int (sqrt(t)+1-1)/((sqrt(t)-1)*(sqrt(t)+1))dt$

lo dividi in due e allora ottieni $1/2*[int 1/(sqrt(t)-1)dt - int1/(t-1)dt]$
il secondo è immediato $ln(t-1)$ mentre per il primo io farei un'altra sostituzione $sqrt(t)=y$.

da qui mi sembra semplice, si fa di nuovo quello che si è fatto prima più o meno.
ti dico il mio risultato così puoi confrontarlo: $sqrt(e^(2x)+1)-x+ln(sqrt(e^(2x)+1)-1) + cost.$

[DarioBaldini]

"blackbishop13":$\int sqrt(1+e^(2x))dx$ ti sei dimenticato il $dx$.

io ho trovato una strada, con due sostituzioni.
la prima è scontata: $t=1+e^(2x)$ da cui $x=1/2ln (t-1)$ e $dx=1/(2(t-1))*dt$
sostituisci e ottieni $1/2 int sqrt(t)/(t-1)dt$ , osservi questa cosa $t-1=(sqrt(t)+1)(sqrt(t)-1)$

e allora agguingi $+1-1$ al numeratore e hai $1/2 int sqrt(t)/(t-1)dt=1/2 int (sqrt(t)+1-1)/((sqrt(t)-1)*(sqrt(t)+1))dt$

lo dividi in due e allora ottieni $1/2*[int 1/(sqrt(t)-1)dt - int1/(t-1)dt]$
il secondo è immediato $ln(t-1)$ mentre per il primo io farei un'altra sostituzione $sqrt(t)=y$.

da qui mi sembra semplice, si fa di nuovo quello che si è fatto prima più o meno.
ti dico il mio risultato così puoi confrontarlo: $sqrt(e^(2x)+1)-x+ln(sqrt(e^(2x)+1)-1) + cost.$

ho provato a risolverla attraverso il formulario https://www.matematicamente.it/formulari ... 801282691/
e ho trovato un risultato diverso dal tuo.

Comunque é possibile risolvere questo integrale nei punti 0 e 1?

Io non riesco a capire come si possa fare.

Grazie

[ObServer]

"blackbishop13":$\int sqrt(1+e^(2x))dx$ ti sei dimenticato il $dx$.

io ho trovato una strada, con due sostituzioni.
la prima è scontata: $t=1+e^(2x)$ da cui $x=1/2ln (t-1)$ e $dx=1/(2(t-1))*dt$
sostituisci e ottieni $1/2 int sqrt(t)/(t-1)dt$ , osservi questa cosa $t-1=(sqrt(t)+1)(sqrt(t)-1)$

e allora agguingi $+1-1$ al numeratore e hai $1/2 int sqrt(t)/(t-1)dt=1/2 int (sqrt(t)+1-1)/((sqrt(t)-1)*(sqrt(t)+1))dt$

lo dividi in due e allora ottieni $1/2*[int 1/(sqrt(t)-1)dt - int1/(t-1)dt]$
il secondo è immediato $ln(t-1)$ mentre per il primo io farei un'altra sostituzione $sqrt(t)=y$.

da qui mi sembra semplice, si fa di nuovo quello che si è fatto prima più o meno.
ti dico il mio risultato così puoi confrontarlo: $sqrt(e^(2x)+1)-x+ln(sqrt(e^(2x)+1)-1) + cost.$

Tutto molto corretto, una cosa non capisco, su
$sqrt(e^(2x)+1)-x+ln(sqrt(e^(2x)+1)-1) + cost.$
Quel $cost$, hai dimenticato di risostituire la $t$ o cosa?

[@melia]

Il "cost" sta per costante e non per coseno di t.

[ObServer]

"@melia":Il "cost" sta per costante e non per coseno di t.

Ah, è la formattazione che pone la t in corsivetto perchè lo scambia per la funzione coseno... infatti, non era possibile che da una funzione integranda esponenziale scappasse fuori una primitiva in forma trigonometrica... capisco che la matematica è imprevebile, ma...

Comunque, tornando On Topic, io l'ho risolto secondo lo schema di blackbishop, e trovata la primitiva, che mi pare leggermente diversa dalla tua (ma in matematica conta anche questo), la sto ora derivando, operazione ti dirò poco semplice, per vedere se mi torna la integranda. Al momento sto lavorando sull'indefinito, non la sto valutando in nessun intervallo.

[ObServer]

Ho controllato, la mia primitiva, derivata, restituisce effettivamente il grafico di $sqrt(1 + e^(2x))$

la primitiva che ho calcolato io è

$F(x) = x + sqrt(1 + e^(2 x)) - log(sqrt(1 + e^(2 x)) + 1) + c$

Che difatti non differisce molto da quella di Blackbishop, ma comunque ne ho controllato la correttezza.