Integrale con sostituzione
Ciao, mi sono bloccato in questo integrale : $\int_-1^1 sqrt(1 + 4x^2)dx$.
Applico sostituzione: $sqrt(1 + 4x^2) = t$, poi elevo al quadrato per far scomparire la radice, e successivamente facendo qualche calcolo arrivo che $x^2 = (t^2 - 1)/4$. Vorrei ottenere $x$, cosi successivamente faccio la derivata. Il problema è che otterrei di nuovo la radice dall'altra parte.. Mi domandavo se esistesse un'altra strada più semplice per applicare sostituzione.. qualcuno saprebbe darmi qualche input? Poi il resto dell'integrale mi arrangio da solo..
Applico sostituzione: $sqrt(1 + 4x^2) = t$, poi elevo al quadrato per far scomparire la radice, e successivamente facendo qualche calcolo arrivo che $x^2 = (t^2 - 1)/4$. Vorrei ottenere $x$, cosi successivamente faccio la derivata. Il problema è che otterrei di nuovo la radice dall'altra parte.. Mi domandavo se esistesse un'altra strada più semplice per applicare sostituzione.. qualcuno saprebbe darmi qualche input? Poi il resto dell'integrale mi arrangio da solo..
Risposte
Ciao jarrod,
Di questi integrali si è già discusso ampiamente, ad esempio qui.
Nel tuo caso, facendo riferimento all'integrale indefinito, si ha:
$int sqrt{1 + 4x^2} dx= 2 int sqrt{(1/2)^2 + x^2} dx = x sqrt{x^2 + (1/2)^2} + (1/2)^2 ln(sqrt{x^2 + (1/2)^2} + x) + c $
Perciò si ha:
$int_{- 1}^1 sqrt{1 + 4x^2} dx = [x sqrt{x^2 + (1/2)^2} + (1/2)^2 ln(sqrt{x^2 + (1/2)^2} + x)]_{-1}^1 = $
$ = sqrt{5/4} + 1/4 ln(sqrt{5/4} + 1) + sqrt{5/4} - 1/4 ln(sqrt{5/4} - 1) = $
$ = sqrt{5} + 1/4 [ln(frac{sqrt{5}}{2} + 1) - ln(frac{sqrt{5}}{2} - 1)] = sqrt{5} + 1/4 [ln(frac{frac{sqrt{5}}{2} + 1}{frac{sqrt{5}}{2} - 1})] = $
$ = sqrt{5} + 1/4 [ln(frac{(frac{sqrt{5}}{2} + 1)^2}{1/4})] = sqrt{5} + 1/4 [ln(2^2(frac{sqrt{5}}{2} + 1)^2)] = sqrt{5} + 1/2 ln(sqrt{5} + 2) $
Di questi integrali si è già discusso ampiamente, ad esempio qui.
Nel tuo caso, facendo riferimento all'integrale indefinito, si ha:
$int sqrt{1 + 4x^2} dx= 2 int sqrt{(1/2)^2 + x^2} dx = x sqrt{x^2 + (1/2)^2} + (1/2)^2 ln(sqrt{x^2 + (1/2)^2} + x) + c $
Perciò si ha:
$int_{- 1}^1 sqrt{1 + 4x^2} dx = [x sqrt{x^2 + (1/2)^2} + (1/2)^2 ln(sqrt{x^2 + (1/2)^2} + x)]_{-1}^1 = $
$ = sqrt{5/4} + 1/4 ln(sqrt{5/4} + 1) + sqrt{5/4} - 1/4 ln(sqrt{5/4} - 1) = $
$ = sqrt{5} + 1/4 [ln(frac{sqrt{5}}{2} + 1) - ln(frac{sqrt{5}}{2} - 1)] = sqrt{5} + 1/4 [ln(frac{frac{sqrt{5}}{2} + 1}{frac{sqrt{5}}{2} - 1})] = $
$ = sqrt{5} + 1/4 [ln(frac{(frac{sqrt{5}}{2} + 1)^2}{1/4})] = sqrt{5} + 1/4 [ln(2^2(frac{sqrt{5}}{2} + 1)^2)] = sqrt{5} + 1/2 ln(sqrt{5} + 2) $
Ciao pilloeffe,
ti ringrazio per il precedente procedimento, ma quindi secondo te per questi tipi di integrali mi sconsigli usare sostituzione?
ti ringrazio per il precedente procedimento, ma quindi secondo te per questi tipi di integrali mi sconsigli usare sostituzione?
"jarrod":
ti ringrazio per il precedente procedimento
Prego!
"jarrod":
ma quindi secondo te per questi tipi di integrali mi sconsigli usare sostituzione?
Beh, si deve indovinare la sostituzione "giusta", altrimenti ci si complica un bel po' la vita: se hai dato un'occhiata al link che ti ho segnalato nel mio post precedente, avrai notato che la mia soluzione per sostituzione è corretta, ma piuttosto lunghetta, al contrario di quella per parti proposta da tommik...
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