Integrale con sostituzione

[lucacasalma]

Ciao, dovrei risolvere questo integrale

$ int_()^() 1/(cosx +1 )dx $

ho proceduto nel seguente modo usando la sostituzione :

$y = cos(x) +1 $

$cos(x) = y-1$

$x= arcos(y-1)$

$dx = -[1/(1-(y-1)^2)^(1/2) dy]$


quindi, riscrivo l'integrale come :

$ -1* int_()^() 1/(y(1-(y-1)^2)^(1/2) )dy $

quello che mi viene in mente è fare qualche magheggio per ottenere una fratta da integrare ottenendo l'arcotangente

ma quel "y" al denominatore non so come toglierlo :\

[cooper1]

premettendo che non ho molto capito la tua sostituzione, mi sembra un brutto integrale da calcolare quello che ti è uscito. in genere questo tipo di integrali si risolvono con la sostituzione $tan(x/2)=t$
edit: ora che hai corretto la formattazione è molto più leggibile

[lucacasalma]

scusa la domanda ma per "questo tipo" cosa intendi? integrali di funzioni goniometriche?

[cooper1]

si con $sinx, cosx$ semplifica molto la sostituzione che ti ho detto.
con $sin^2x, cos^2x, sinxcosx, tanx, cot x$ può semplificare invece la sostituzione $tanx = t$

[lucacasalma]

riusciresti a mostrarmi come dovrei utilizzare la sostituzione che hai proposto tu? giusto per avere un esempio!
scusa se magari chiedo troppo!

[cooper1]

certo. notiamo anzitutto che: $dx= 2/(1+t^2)dt$ e che il coseno diventa $(1-t^2)/(1+t^2) $sostituendo l'integrale diventa:

$ int1/((1-t^2)/(1+t^2)+1)2/(1+t^2)dt=int(1+t^2)/((1-t^2+1+t^2))2/(1+t^2)dt= intdt=t+c=tan(x/2)+c $ $ con $c in RR$

[MerakUrsaeMajoris]

Ciao!
Hai utilizzato una sostituzione sbagliata, o meglio... poco efficace.
Quando ti si presentano integrali di questo tipo puoi provare a fare delle sostituzioni 'tattiche', ma se vedi che la strada intrapresa diventa molto complicata capirai che la sostituzione fatta non è efficace.
In questo caso infatti ti conveniva utilizzare delle formule per trasformare il $cos(x)$ infatti utilizzerei le cosiddette 'formule parametriche' cioè: $cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$in cui $t=tan(\frac{x}{2})$.
Di conseguenza la tua funzione $\frac{1}{cos(x)+1}$ diventa magicamente $\frac{1+t^2}{2}$, mentre il tuo nuovo differenziale diventa $dx=\frac{2}{1+t^2}dt$.
Inserisci tutto sotto il segno di integrale e in modo sorprendete diventerà tutto molto semplice $\int 1 dt=t+c$
Ora ti basta risostituire la t ed il gioco è fatto!!
Tutto chiaro???

[lucacasalma]

ok grazie mille ad entrambi, sto provando pian piano step by step ma non mi torna la dx trovata, come avete ottenuto

$2/(1+t^2) dt$ ?

vi ringrazio per l'enorme pazienza :3

[cooper1]

derivando $tan (x/2)$. posta i tuoi calcoli che possiamo provare a correggere il tuo errore.

[lucacasalma]

$ tg f(x) => derivata : (f'(x)) / (cos^2fx) $
$ x/2 => derivata : 1/2 $

quindi

$ dx= (1/2) / (cos^2(t/2)) dt$

NON SPARATEMI AHAHA

[MerakUrsaeMajoris]

partendo dal fatto che $dx=x' dt$, tu hai fatto come sostituzione che $t=tan(\frac{x}{2})$ di conseguenza la tua $x$ da derivare sarà $x=2arctan(x)$.

[lucacasalma]

"cooper":certo. notiamo anzitutto che: $dx= 2/(1+t^2)dt$ e che il coseno diventa $(1-t^2)/(1+t^2) $sostituendo l'integrale diventa:

$ int1/((1-t^2)/(1+t^2)+1)2/(1+t^2)dt=int(1+t^2)/((1-t^2+1+t^2))2/(1+t^2)dt= intdt=t+c=tan(x/2)+c $ $ con $c in RR$

vi ringrazio per la pazienza, ora ho davvero capito lo svolgimento

l'ultima cosa che non mi torna è dove sia "sparito" quel 2 al numeratore, il denominatore della fratta di sinistra vale 1 sommando ciò che risulta, il denominatore di destra, invece, lo semplifico con il numeratore di sinistra, quindi mi verrebbe SI t MA moltiplicato per 2!

[cooper1]

il denominatore di sinistra vale 2

[lucacasalma]

errore mio del segno, scusa, risolto tutto! grazie ancora

[cooper1]

figurati