Integrale con serie
Ciao!
Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo problema:
Determinare i coefficienti \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) in modo tale che:
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} [f(x)-P(x)]^2 dx \)
sia minimo, dove \(\displaystyle f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nx^{2n}\) e \(\displaystyle P(x)=a +bx^2 \)
C'e' qualcuno che mi sa aiutare? Grazie molte!
Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo problema:
Determinare i coefficienti \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) in modo tale che:
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} [f(x)-P(x)]^2 dx \)
sia minimo, dove \(\displaystyle f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nx^{2n}\) e \(\displaystyle P(x)=a +bx^2 \)
C'e' qualcuno che mi sa aiutare? Grazie molte!
Risposte
Secondo me devi usare $f(x)=1/{1+x^2}$, sai?
Dopodiché, è una smeplice questione di calcolo
$[f(x)-P(x)]^2=[{1}/{1+x^2}-(a+bx^2)]^2=...$
fai un po' di conti e calcoli una somma di integrali. A quel punto il valore dipendera da $a,b$ e quindi studi i valori che ti servono... e questa è la via "lunga", diciamo.
La via breve è notare che, al variare di $a,b$ l'intergale scritto è una funzione $S(a,b)$ di cui vuoi trovare il minimo. Allora basta studiare tale funzione con il metodo di gradiente/Hessiana per le funzioni di due variabili. Ad esempio
${\partial S}/{\partial a}={\partial}/{\partial a}\int_{-1}^1[{1}/{1+x^2}-(a+bx)]^2\ dx=$
$\int_{-1}^1{\partial}/{\partial a}[{1}/{1+x^2}-(a+bx^2)]^2\ dx=\int_{-1}^1 -2[{1}/{1+x^2}-(a+bx^2)]\ dx$
e calcolando anche ${\partial S}/{\partial b}$ imporre la condizione per i punti stazionari ${\partial S}/{\partial a}=0,\ {\partial S}/{\partial b}=0$. A quel punto usi l'Hessiana e verifichi che tipo di punti hai.

$[f(x)-P(x)]^2=[{1}/{1+x^2}-(a+bx^2)]^2=...$
fai un po' di conti e calcoli una somma di integrali. A quel punto il valore dipendera da $a,b$ e quindi studi i valori che ti servono... e questa è la via "lunga", diciamo.
La via breve è notare che, al variare di $a,b$ l'intergale scritto è una funzione $S(a,b)$ di cui vuoi trovare il minimo. Allora basta studiare tale funzione con il metodo di gradiente/Hessiana per le funzioni di due variabili. Ad esempio
${\partial S}/{\partial a}={\partial}/{\partial a}\int_{-1}^1[{1}/{1+x^2}-(a+bx)]^2\ dx=$
$\int_{-1}^1{\partial}/{\partial a}[{1}/{1+x^2}-(a+bx^2)]^2\ dx=\int_{-1}^1 -2[{1}/{1+x^2}-(a+bx^2)]\ dx$
e calcolando anche ${\partial S}/{\partial b}$ imporre la condizione per i punti stazionari ${\partial S}/{\partial a}=0,\ {\partial S}/{\partial b}=0$. A quel punto usi l'Hessiana e verifichi che tipo di punti hai.
Ottimo, grazie molte! Direi che la via breve e' decisamente meglio!
Per curiosita' e per verifica volevo provare anche la via lunga ma mi sono bloccata nel risolvere
\(\displaystyle \int (1/(1+x^2))^2 \)
ho provato con la sostituzione \(\displaystyle x=sinht \) ma con scarso successo! Tu hai qualche consiglio da darmi al riguardo?
Grazie ancora!

Per curiosita' e per verifica volevo provare anche la via lunga ma mi sono bloccata nel risolvere
\(\displaystyle \int (1/(1+x^2))^2 \)
ho provato con la sostituzione \(\displaystyle x=sinht \) ma con scarso successo! Tu hai qualche consiglio da darmi al riguardo?
Grazie ancora!
$\int 1/{(1+x^2)^2}\ dx=\int{1+x^2-x^2}/{(1+x^2)^2}\ dx=\int 1/{1+x^2}\ dx-\int {x^2}/{(1+x^2)^2}\ dx$
Il primo è ovvio, mentre nel secondo puoi procedere per parti scrivendolo come
$\int x/2\cdot {2x}/{(1+x^2)^2}\ dx$
e notando che la frazione complicata ha un integrale molto semplice.
Il primo è ovvio, mentre nel secondo puoi procedere per parti scrivendolo come
$\int x/2\cdot {2x}/{(1+x^2)^2}\ dx$
e notando che la frazione complicata ha un integrale molto semplice.
Hai ragione, non ci avevo pensato.. Grazie!!!