Integrale con serie

Elena41
Ciao!

Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo problema:

Determinare i coefficienti \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) in modo tale che:

\(\displaystyle \int_{-1}^{1} [f(x)-P(x)]^2 dx \)

sia minimo, dove \(\displaystyle f(x)= \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nx^{2n}\) e \(\displaystyle P(x)=a +bx^2 \)


C'e' qualcuno che mi sa aiutare? Grazie molte!

Risposte
ciampax
Secondo me devi usare $f(x)=1/{1+x^2}$, sai? :-D Dopodiché, è una smeplice questione di calcolo

$[f(x)-P(x)]^2=[{1}/{1+x^2}-(a+bx^2)]^2=...$

fai un po' di conti e calcoli una somma di integrali. A quel punto il valore dipendera da $a,b$ e quindi studi i valori che ti servono... e questa è la via "lunga", diciamo.

La via breve è notare che, al variare di $a,b$ l'intergale scritto è una funzione $S(a,b)$ di cui vuoi trovare il minimo. Allora basta studiare tale funzione con il metodo di gradiente/Hessiana per le funzioni di due variabili. Ad esempio

${\partial S}/{\partial a}={\partial}/{\partial a}\int_{-1}^1[{1}/{1+x^2}-(a+bx)]^2\ dx=$
$\int_{-1}^1{\partial}/{\partial a}[{1}/{1+x^2}-(a+bx^2)]^2\ dx=\int_{-1}^1 -2[{1}/{1+x^2}-(a+bx^2)]\ dx$

e calcolando anche ${\partial S}/{\partial b}$ imporre la condizione per i punti stazionari ${\partial S}/{\partial a}=0,\ {\partial S}/{\partial b}=0$. A quel punto usi l'Hessiana e verifichi che tipo di punti hai.

Elena41
Ottimo, grazie molte! Direi che la via breve e' decisamente meglio! :D
Per curiosita' e per verifica volevo provare anche la via lunga ma mi sono bloccata nel risolvere

\(\displaystyle \int (1/(1+x^2))^2 \)

ho provato con la sostituzione \(\displaystyle x=sinht \) ma con scarso successo! Tu hai qualche consiglio da darmi al riguardo?

Grazie ancora!

ciampax
$\int 1/{(1+x^2)^2}\ dx=\int{1+x^2-x^2}/{(1+x^2)^2}\ dx=\int 1/{1+x^2}\ dx-\int {x^2}/{(1+x^2)^2}\ dx$

Il primo è ovvio, mentre nel secondo puoi procedere per parti scrivendolo come

$\int x/2\cdot {2x}/{(1+x^2)^2}\ dx$

e notando che la frazione complicata ha un integrale molto semplice.

Elena41
Hai ragione, non ci avevo pensato.. Grazie!!!

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