Integrale con seno ed esponenziale
Buongiorno a tutti, ho incontrato questo integrale $int (-sen^2 x)/e^x dx$ che mi sta dando un pò di problemi perchè è un caso che non ho mai incontrato prima... Prima di tutto l'ho riscritto così:
$- int e^(-x)sen^2 xdx $
ho integrato tre volte per parti ottenendo: $e^(-x)sen^2 x -e^-x sen 2x -2e^-x cos 2x -4inte^-x sen 2x dx$ ed ho notato che potrei andare avanti ad oltranza senza ottenere mai la primitiva; ho dato anche già un'occhiata su internet in merito al mio problema ed ho trovato le formule di riduzione per gli integrali che però non ho capito come applicare al mio caso...
Salvo errori di calcolo o di segno, concettualmente come posso concludere il mio integrale?
Grazie in anticipo
$- int e^(-x)sen^2 xdx $
ho integrato tre volte per parti ottenendo: $e^(-x)sen^2 x -e^-x sen 2x -2e^-x cos 2x -4inte^-x sen 2x dx$ ed ho notato che potrei andare avanti ad oltranza senza ottenere mai la primitiva; ho dato anche già un'occhiata su internet in merito al mio problema ed ho trovato le formule di riduzione per gli integrali che però non ho capito come applicare al mio caso...
Salvo errori di calcolo o di segno, concettualmente come posso concludere il mio integrale?
Grazie in anticipo
Risposte
La tattica che stai usando dovrebbe funzionare: a un certo punto (conti esatti permettendo) dovrebbe apparirti al membro di destra dell'uguaglianza un integrale uguale a quello del membro di sinistra ma di segno opposto; lo porti a sinistra e dividi per il coefficiente che compare a moltiplicare il membro di sinistra e hai la primitiva.
"Mephlip":
...
Ottimo
grazie mille continuo l'integrazione e ti aggiorno
Di solito si chiamano"integrali ciclici" quelli che, dopo una o due integrazioni per parti svolte correttamente, ripresentano al secondo membro lo stesso integrale di partenza moltiplicato per un coefficiente$!=1$.
In ognuno di questi casi si usa il trucco segnalato da Mephlip, cioè si considera l'uguaglianza come un'equazione nell'integrale che si sta calcolando e la si risolve come tale.
In ognuno di questi casi si usa il trucco segnalato da Mephlip, cioè si considera l'uguaglianza come un'equazione nell'integrale che si sta calcolando e la si risolve come tale.
"gugo82":
...
Grazie gugo82
ieri ho provato a svolgerlo e il risultato torna
Ciao Marco Beta2,
Ferma restando la correttezza di quanto ti è stato detto da chi mi ha preceduto, volevo semplicemente farti notare che prima di procedere con tre integrazioni per parti, come hai scritto nell'OP, forse era più semplice notare che si ha:
$sin^2 x = 1/2 [1 - cos(2x)] $
Più in generale $sin^2 (mx) = 1/2 [1 - cos(2mx)] $, così che ci si può ricondurre agli integrali di cui si è già discusso ad esempio qui. Dunque più in generale si ha:
$ \int e^{ax} \sin^2 (mx) dx = frac{e^{ax}[a^2 - a^2 \cos(2mx) - 2am \sin(2mx) + 4m^2 ]}{2a(a^2 + 4m^2)} + c $
$ \int e^{ax} \cos^2 (mx) dx = frac{e^{ax}[a^2 + a^2 \cos(2mx) + 2am \sin (2mx) + 4m^2 ]}{2a(a^2 + 4m^2)} + c $
L'integrale proposto si ottiene nel caso particolare $ a = - m = - 1 $
Ferma restando la correttezza di quanto ti è stato detto da chi mi ha preceduto, volevo semplicemente farti notare che prima di procedere con tre integrazioni per parti, come hai scritto nell'OP, forse era più semplice notare che si ha:
$sin^2 x = 1/2 [1 - cos(2x)] $
Più in generale $sin^2 (mx) = 1/2 [1 - cos(2mx)] $, così che ci si può ricondurre agli integrali di cui si è già discusso ad esempio qui. Dunque più in generale si ha:
$ \int e^{ax} \sin^2 (mx) dx = frac{e^{ax}[a^2 - a^2 \cos(2mx) - 2am \sin(2mx) + 4m^2 ]}{2a(a^2 + 4m^2)} + c $
$ \int e^{ax} \cos^2 (mx) dx = frac{e^{ax}[a^2 + a^2 \cos(2mx) + 2am \sin (2mx) + 4m^2 ]}{2a(a^2 + 4m^2)} + c $
L'integrale proposto si ottiene nel caso particolare $ a = - m = - 1 $
"pilloeffe":
...
Ciao Pilloeffe e grazie per la risposta
questi metodi risolutivi che mi hai fornito non li conoscevo e ti ringrazio per averli condivisi... Ci sono dei casi particolari in cui magari non si possono usare per via dei valori che assumono $m$ ed $a$ ?grazie ancora
"Marco Beta2":
Ciao Pilloeffe e grazie per la risposta
Prego!
"Marco Beta2":
Ci sono dei casi particolari in cui magari non si possono usare per via dei valori che assumono $m $ ed $ a $?
Beh, dovresti essere in grado di vederlo da solo: per quale valore di $a$ le frazioni che compaiono al secondo membro avrebbero qualche "problemino" ?
"pilloeffe":
...
Vero!!! Per $a=0$ che mi va ad annullare il denominatore...
Grazie
Tieni conto poi che il caso $a = 0 $ è di scarso interesse pratico, perché di fatto in tal caso rimane solo l'integrale del seno o del coseno al quadrato, che sono elementarmente risolvibili.
Quindi, riassumendo:
\begin{equation}
\boxed{\int e^{ax} \sin^2(mx) dx =
\begin{cases}
\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(mx)\cos(mx)}{2m} + c & \text{per $a = 0, m \ne 0$}\\
& \\
\dfrac{e^{ax}[a^2 - a^2 \cos(2mx) - 2am \sin(2mx) + 4m^2 ]}{2a(a^2 + 4m^2)} + c & \text{per $a \ne 0 $}
\end{cases}}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{\int e^{ax} \cos^2(mx) dx =
\begin{cases}
\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin(mx)\cos(mx)}{2m} + c & \text{per $a = 0, m \ne 0$}\\
& \\
\dfrac{e^{ax}[a^2 + a^2 \cos(2mx) + 2am \sin (2mx) + 4m^2 ]}{2a(a^2 + 4m^2)} + c & \text{per $a \ne 0 $}
\end{cases}}
\end{equation}
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