Integrale con seno e coseno iperbolico
Ciao ragazzi,
vorrei una vostra opinione su come risolvere questo integrale:
$ int_(0)^(ln(3)) (sinh(t))/(2+2cosh(t)+sinh^2(t)) dx $
ho provato con il metodo di sostituzione ma mi blocco quasi subito e poi con i seni e coseni iperbolici vado sempre in confusione
. Avete qualche idea?
ciao e grazie a tutti!
vorrei una vostra opinione su come risolvere questo integrale:
$ int_(0)^(ln(3)) (sinh(t))/(2+2cosh(t)+sinh^2(t)) dx $
ho provato con il metodo di sostituzione ma mi blocco quasi subito e poi con i seni e coseni iperbolici vado sempre in confusione
. Avete qualche idea?ciao e grazie a tutti!
Risposte
Due strade possibili.
O manipoli il denominatore, ricordando che \(\sinh^2 x + \cosh^2 x =1\), e poi noti che al numeratore hai la derivata di \(\cosh x\).
Oppure ti ricordi che \(\cosh x\) e \(\sinh x\) sono combinazioni lineari di esponenziali e trasformi l'integrando in una funzione razionale di \(e^x\).
Prova.
O manipoli il denominatore, ricordando che \(\sinh^2 x + \cosh^2 x =1\), e poi noti che al numeratore hai la derivata di \(\cosh x\).
Oppure ti ricordi che \(\cosh x\) e \(\sinh x\) sono combinazioni lineari di esponenziali e trasformi l'integrando in una funzione razionale di \(e^x\).
Prova.
"gugo82":
Due strade possibili.
O manipoli il denominatore, ricordando che \(\sinh^2 x + \cosh^2 x =1\), e poi noti che al numeratore hai la derivata di \(\cosh x\).
Oppure ti ricordi che \(\cosh x\) e \(\sinh x\) sono combinazioni lineari di esponenziali e trasformi l'integrando in una funzione razionale di \(e^x\).
Prova.
ma come faccio ad elevare al quadrato cosh(x) al denominatore senza non toccare gli altri membri?
Ho anche provato ad integrare come f'(x)/ln(f(x)) ma il problema è che poi mi ritrovo con troppi termini. Il secondo suggerimento che mi hai dato purtroppo non l'ho mai visto.
Grazie della risp,
ciao!
Non ho capito cosa tu voglia elevare al quadrato...
Dalla relazione fondamentale \(\sinh^2 x+\cosh^2 x=1\) puoi ricavare \(\sinh^2 x=1-\cosh^2 x\) cosicché il denominatore diventa:
\[
\begin{split}
2+2\ \cosh x + \sinh^2 x &= 2+2\ \cosh x + \big(1-\cosh^2 x\big)\\
&= 3 +2\ \cosh x -\cosh^2 x\; ;
\end{split}
\]
dunque:
\[
\int_0^{\ln 3} \frac{\sinh x}{2+2\ \cosh x + \sinh^2 x}\ \text{d} x = \int_0^{\ln 3} \frac{\sinh x}{3 +2\ \cosh x -\cosh^2 x}\ \text{d} x
\]
e puoi fare la sostituzione \(u=\cosh x\).
Per quanto riguarda l'altro metodo, dato che, per definizione hai:
\[
\cosh x := \frac{1}{2}\ \big( e^x + e^{-x}\big) \qquad \text{e}\qquad \sinh x := \frac{1}{2}\ \big( e^x - e^{-x}\big)
\]
trovi:
\[
\begin{split}
\int_0^{\ln 3} \frac{\sinh x}{2+2\ \cosh x + \sinh^2 x}\ \text{d} x &= \int_0^{\ln 3} \frac{\frac{1}{2}\ \big( e^x - e^{-x}\big)}{2+2\ \frac{1}{2}\ \big( e^x + e^{-x}\big) + \frac{1}{4}\ \big( e^x - e^{-x}\big)^2}\ \text{d} x\\
&= 2\ \int_0^{\ln 3} \frac{e^{-x} \big( e^{2x} -1\big)}{8+e^x+e^{-x} + e^{-2x} \big( e^{4x} -2e^{2x}+1\big)}\ \text{d} x\\
&= 2\ \int_0^{\ln 3} \frac{e^{2x}-1}{e^x \big( 8e^{2x} + e^{3x} + e^x + e^{4x} -2e^{2x} +1\big)}\ \text{d} x\\
&= 2\ \int_0^{\ln 3} \frac{e^{2x}-1}{e^x \big( e^{4x} + e^{3x}+6e^{2x} +e^x+1\big)}\ \text{d} x
\end{split}
\]
se in conti sono giusti.
Dalla relazione fondamentale \(\sinh^2 x+\cosh^2 x=1\) puoi ricavare \(\sinh^2 x=1-\cosh^2 x\) cosicché il denominatore diventa:
\[
\begin{split}
2+2\ \cosh x + \sinh^2 x &= 2+2\ \cosh x + \big(1-\cosh^2 x\big)\\
&= 3 +2\ \cosh x -\cosh^2 x\; ;
\end{split}
\]
dunque:
\[
\int_0^{\ln 3} \frac{\sinh x}{2+2\ \cosh x + \sinh^2 x}\ \text{d} x = \int_0^{\ln 3} \frac{\sinh x}{3 +2\ \cosh x -\cosh^2 x}\ \text{d} x
\]
e puoi fare la sostituzione \(u=\cosh x\).
Per quanto riguarda l'altro metodo, dato che, per definizione hai:
\[
\cosh x := \frac{1}{2}\ \big( e^x + e^{-x}\big) \qquad \text{e}\qquad \sinh x := \frac{1}{2}\ \big( e^x - e^{-x}\big)
\]
trovi:
\[
\begin{split}
\int_0^{\ln 3} \frac{\sinh x}{2+2\ \cosh x + \sinh^2 x}\ \text{d} x &= \int_0^{\ln 3} \frac{\frac{1}{2}\ \big( e^x - e^{-x}\big)}{2+2\ \frac{1}{2}\ \big( e^x + e^{-x}\big) + \frac{1}{4}\ \big( e^x - e^{-x}\big)^2}\ \text{d} x\\
&= 2\ \int_0^{\ln 3} \frac{e^{-x} \big( e^{2x} -1\big)}{8+e^x+e^{-x} + e^{-2x} \big( e^{4x} -2e^{2x}+1\big)}\ \text{d} x\\
&= 2\ \int_0^{\ln 3} \frac{e^{2x}-1}{e^x \big( 8e^{2x} + e^{3x} + e^x + e^{4x} -2e^{2x} +1\big)}\ \text{d} x\\
&= 2\ \int_0^{\ln 3} \frac{e^{2x}-1}{e^x \big( e^{4x} + e^{3x}+6e^{2x} +e^x+1\big)}\ \text{d} x
\end{split}
\]
se in conti sono giusti.
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