Integrale con seno e coseno
E' da un giorno che perdo la testa con questo integrale:
$ int_(pi/2)^(pi/4) x*sinx*cos^2x*dx $
Scrivo $ cos^2(x) =1-sin^2(x) $ :
$ = int x*sin(x)*(1-sin^2(x)) dx $
Espandendo l'integranda $ x sin(x)*(1-sin^2(x)) $ si ha $ x sin(x)-x sin^3(x) $:
$ = int (x sin(x)-x sin^3(x)) dx $
$ = int x sin(x) dx- int x sin^3(x) dx $
Per l'integranda $ x sin^3(x) $, usiamo l'identità trigonometrica $ sin^2(x) = 1/2 (1-cos(2 x)) $:
$ = int x sin(x) dx-1/2 int x sin(x) (1-cos(2 x)) dx $
espandendo l'integranda $ x sin(x) (1-cos(2 x)) $ si ha $ x sin(x)-x sin(x) cos(2 x) $:
$ = int x sin(x) dx-1/2 int (x sin(x)-x sin(x) cos(2 x)) dx $
$ = 1/2 int x sin(x) dx+1/2 int x sin(x) cos(2 x) dx $
Usiamo l'identità $ sin(alpha) cos(beta) = 1/2 (sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)) $, dove $ alpha = x and beta = 2 x $:
$ = 1/2 int x sin(x) dx+1/4 int x (sin(3 x)-sin(x)) dx $
espandendo l'integranda $ x (sin(3 x)-sin(x)) $ si ha $ x sin(3 x)-x sin(x) $:
$ = 1/2 int x sin(x) dx+1/4 int (x sin(3 x)-x sin(x)) dx $
$ = 1/4 int x sin(x) dx+1/4 int x sin(3 x) dx $
Per l'integranda $ x sin(3 x) $ , integriamo per parti, $ int f dg = f g- int g df, dove
$ f = x, dg = sin(3 x) dx, df = dx, g = -1/3 cos(3 x) $:
$ = -1/12 x cos(3 x)+1/4 int x sin(x) dx+1/12 int cos(3 x) dx $
Per l'integranda $ cos(3 x) $, sostituisco $ u = 3 x $ e $ du = 3 dx $:
$ = 1/36 int cos(u) du-1/12 x cos(3 x)+1/4 int x sin(x) dx $
Per l'integranda $ x sin(x) $, integriamo per parti, $ int f dg = f g- int g df $, dove
$ f = x, dg = sin(x) dx, df = dx, g = -cos(x) $:
$ = 1/36 int cos(u) du-1/4 x cos(x)-1/12 x cos(3 x)+1/4 int cos(x) dx $
Ma dando un occhiata su wolfram Alpha anzichè scrivere quanto scritto pocanzi scrive :
$ = 1/36 int cos(u) du+1/4 x cos(x)-1/12 x cos(3 x)+1/2 int x sin(x) dx-1/4 int cos(x) dx $
PERCHE'???????
$ int_(pi/2)^(pi/4) x*sinx*cos^2x*dx $
Scrivo $ cos^2(x) =1-sin^2(x) $ :
$ = int x*sin(x)*(1-sin^2(x)) dx $
Espandendo l'integranda $ x sin(x)*(1-sin^2(x)) $ si ha $ x sin(x)-x sin^3(x) $:
$ = int (x sin(x)-x sin^3(x)) dx $
$ = int x sin(x) dx- int x sin^3(x) dx $
Per l'integranda $ x sin^3(x) $, usiamo l'identità trigonometrica $ sin^2(x) = 1/2 (1-cos(2 x)) $:
$ = int x sin(x) dx-1/2 int x sin(x) (1-cos(2 x)) dx $
espandendo l'integranda $ x sin(x) (1-cos(2 x)) $ si ha $ x sin(x)-x sin(x) cos(2 x) $:
$ = int x sin(x) dx-1/2 int (x sin(x)-x sin(x) cos(2 x)) dx $
$ = 1/2 int x sin(x) dx+1/2 int x sin(x) cos(2 x) dx $
Usiamo l'identità $ sin(alpha) cos(beta) = 1/2 (sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)) $, dove $ alpha = x and beta = 2 x $:
$ = 1/2 int x sin(x) dx+1/4 int x (sin(3 x)-sin(x)) dx $
espandendo l'integranda $ x (sin(3 x)-sin(x)) $ si ha $ x sin(3 x)-x sin(x) $:
$ = 1/2 int x sin(x) dx+1/4 int (x sin(3 x)-x sin(x)) dx $
$ = 1/4 int x sin(x) dx+1/4 int x sin(3 x) dx $
Per l'integranda $ x sin(3 x) $ , integriamo per parti, $ int f dg = f g- int g df, dove
$ f = x, dg = sin(3 x) dx, df = dx, g = -1/3 cos(3 x) $:
$ = -1/12 x cos(3 x)+1/4 int x sin(x) dx+1/12 int cos(3 x) dx $
Per l'integranda $ cos(3 x) $, sostituisco $ u = 3 x $ e $ du = 3 dx $:
$ = 1/36 int cos(u) du-1/12 x cos(3 x)+1/4 int x sin(x) dx $
Per l'integranda $ x sin(x) $, integriamo per parti, $ int f dg = f g- int g df $, dove
$ f = x, dg = sin(x) dx, df = dx, g = -cos(x) $:
$ = 1/36 int cos(u) du-1/4 x cos(x)-1/12 x cos(3 x)+1/4 int cos(x) dx $
Ma dando un occhiata su wolfram Alpha anzichè scrivere quanto scritto pocanzi scrive :
$ = 1/36 int cos(u) du+1/4 x cos(x)-1/12 x cos(3 x)+1/2 int x sin(x) dx-1/4 int cos(x) dx $
PERCHE'???????
Risposte
Hai provato ad integrare per parti all'inizio con fattore differenziale [tex]$\sin x\ \cos^2 x\ \text{d} x$[/tex]?
Forse si fanno un po' meno conti...
Forse si fanno un po' meno conti...
Non so cosa significa integrare per parti con fattore differenziale
Sono riuscito a risolverlo in un altro modo !! Ad ogni modo grazie del suggerimento !!
"raffaele.russo2":
Non so cosa significa integrare per parti con fattore differenziale
Strano, giacché è una terminologia abbastanza standard...
Detto rozzamente, quando integri per parti un prodotto di due funzioni, tipicamente hai uno dei due fattori da derivare (questo si chiama fattore finito) e l'altro da integrare (e questo, con l'aggiunta del [tex]$\text{d} x$[/tex], si chiama fattore differenziale).
Quindi integrare per parti l'integrale [tex]\int f(x)\ g(x)\ \text{d} x[/tex] con fattore differenziale [tex]$g(x)\ \text{d} x$[/tex] significa fare un'integrazione per parti in cui [tex]$g(x)$[/tex] è da integrare e [tex]$f(x)$[/tex] da derivare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo