Integrale con scomposizione a fratti semplici e sostituzione

[eccelsius]

Salve,
ho questo integrale:

$\int(x^2+x)/(x-1)^3dx$

L'ho scomposto in fratti semplici:

$A/(x-1)+B/(x-1)^2+C/(x-1)^3$

Il numeratore della somma diventa:

$Ax^2+(-2A+B)x+A-B+C$

$\{(A=1),(-2A+B=1),(A-B+C=0):}$ $\rArr \{(A=1),(B=3),(C=2):}$

Quindi:

$\int 1/(x-1)+3/(x-1)^2+2/(x-1)^3dx$

Sui seguenti passaggi ho alcuni dubbi.

Sostituisco:

$t=x-1$

$dt/dx=-1/(x-1)^2 \rArr dx=-(x-1)^2dt \rArr dx=-t^2dt$

Quindi l'integrale diventa (su questo passaggio ho tanti dubbi):

$\int (1/t+3/t^2+2/t^3)(-t^2)dt = -1\int t^2/tdt -3\int t^2/t^2dt- 2\int t^2/t^3dt = -t^2/2-3t-2log|t|$

Ritorno alla forma iniziale sostituendo $t=x-1$:

$-(x-1)^2/2-3(x-1)-2log|x-1|$

é giusto? Il libro dà un altro risultato. Non so è scritto in un'altra forma ma non sono riuscito a ricondurlo al mio quindi chiedo a voi.

[Brancaleone1]

"eccelsius":Sui seguenti passaggi ho alcuni dubbi.

Sostituisco:

$t=x-1$

$dt/dx=-1/(x-1)^2 \rArr dx=-(x-1)^2dt \rArr dx=-t^2dt$

Quindi l'integrale diventa (su questo passaggio ho tanti dubbi):

$\int (1/t+3/t^2+2/t^3)(-t^2)dt = -1\int t^2/tdt -3\int t^2/t^2dt- 2\int t^2/t^3dt = -t^2/2-3t-2log|t|$

Dovrebbe essere

$t=x-1$

$=> \text(d)t=\text(d)x$

$=>int 1/t \text(d)t + int 3/t^2 \text(d)t + int 2/t^3 \text(d)t$

[eccelsius]

Ho fatto l'integrale di x-1 invece che la sua derivata, che errore stupido!
Quindi in fin dei conti esce:
$log|t|-3/t-1/(t^2) \rArr log|x-1|-3/(x-1)-1/(x-1)^2 \rArr log|x-1|-(3x-4)/(x-1)^2$

però sul libro il risultato è:

$-(x^2+x)/(2(x-1)^2)-(2x+1)/(2(x-1))+log|x-1|$

[pilloeffe]

Ciao eccelsius,

Dunque, ricapitolando si ha:

$ \int(x^2+x)/((x-1)^3) dx = \int [1/(x-1)+3/(x-1)^2+2/(x-1)^3] dx = \int (dx)/(x-1)+\int (3dx)/(x-1)^2+\int (2dx)/(x-1)^3 = $
$ = \int (dt)/(t)+\int (3dt)/t^2+\int (2dt)/t^3 = ln|t| - 3/t - 1/t^2 + c = ln|x - 1| - 3/(x - 1) - 1/(x - 1)^2 + c = $
$ = ln|x - 1| - frac{3x - 3 + 1}{(x - 1)^2} + c = ln|x - 1|+ frac{2 - 3x}{(x - 1)^2} + c$

Quindi mi sa che c'è un errore sul risultato del libro...

[eccelsius]

Grazie mille, sei stato veramente gentilissimo.