Integrale con residuo
Ciao, sto provando a svolgere quest'esercizio d'esame che chiede di calcolare un integrale.
La traccia è la seguente:
Per il teorema di Cauchy, si ha:
$ 0 = int_(r)^(R) (e^(ix)-1)/x^(3/2) dx +int_(+gamma_R)^() (e^(iz)-1)/z^(3/2) dz +(2i)/(-sqrt(2)+isqrt(2))int_(R)^(r) (e^(-y)-1)/y^(3/2) dy +int_(-gamma_r)^() (e^(iz)-1)/z^(3/2) dz $
Per quanto riguarda il primo integrale, tramite il lemma del grande cerchio, provo che il numeratore si può maggiorare con una funzione infinitesima ( $ 2/sqrt(z) $ , giusto?), quindi va via tutto l'integrale. Con meno fatica, anche l'ultimo integrale dovrebbe essere nullo nel limite in cui $ r->0 $, grazie al lemma del piccolo cerchio.
Se fin qui non ci sono errori, dovrei essere in questa situazione:
$ int_(0)^(+infty) (e^(ix)-1)/x^(3/2) dx = (i(sqrt(2)+isqrt(2)))/2 int_(0)^(+infty) (e^(-y)-1)/y^(3/2) dy $
Il problema è che non riesco a calcolare l'integrale a secondo membro o perlomeno a trovare un metodo per risolverlo. Grazie a chiunque mi dia un suggerimento!
La traccia è la seguente:
Per il teorema di Cauchy, si ha:
$ 0 = int_(r)^(R) (e^(ix)-1)/x^(3/2) dx +int_(+gamma_R)^() (e^(iz)-1)/z^(3/2) dz +(2i)/(-sqrt(2)+isqrt(2))int_(R)^(r) (e^(-y)-1)/y^(3/2) dy +int_(-gamma_r)^() (e^(iz)-1)/z^(3/2) dz $
Per quanto riguarda il primo integrale, tramite il lemma del grande cerchio, provo che il numeratore si può maggiorare con una funzione infinitesima ( $ 2/sqrt(z) $ , giusto?), quindi va via tutto l'integrale. Con meno fatica, anche l'ultimo integrale dovrebbe essere nullo nel limite in cui $ r->0 $, grazie al lemma del piccolo cerchio.
Se fin qui non ci sono errori, dovrei essere in questa situazione:
$ int_(0)^(+infty) (e^(ix)-1)/x^(3/2) dx = (i(sqrt(2)+isqrt(2)))/2 int_(0)^(+infty) (e^(-y)-1)/y^(3/2) dy $
Il problema è che non riesco a calcolare l'integrale a secondo membro o perlomeno a trovare un metodo per risolverlo. Grazie a chiunque mi dia un suggerimento!
Risposte
Intanto spezza quella somma perché $1/y^{3/2}$ si integra in maniera elementare. Per l'altra parte, prova con la sostituzione $t= \sqrt{y}$. Ricorda poi che $\int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi}/2$ (facendo un po' di passaggi, dovresti ricondurti al calcolo di questo integrale)
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta. Comunque inizialmente avevo pensato anch'io di spezzare quella somma, solo che $ 1/y^(3/2) $ non è sommabile in $ 0 $...
Ops, hai ragione 
Prova comunque a fare quella sostituzione e vedere se aiuta.
Prova comunque a fare quella sostituzione e vedere se aiuta.
Purtroppo no perché ottengo $ 2int_(0)^(+infty) (e^(-y^2)-1)/y^2 dy $
Conviene fare prima un'integrazione per parti allora:
$$\int \frac{e^{-y}-1}{y^{3/2}} dy = -\frac{1}{2} \frac{e^{-y}-1}{y^{1/2}} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{-y}}{y^{1/2}} dy$$
Ora tieni conto del fatto che $\lim_{y \to 0} \frac{e^{-y}-1}{y^{1/2}} = 0$ e che $\lim_{y \to +\infty} \frac{e^{-y}-1}{y^{1/2}} = 0$ e l'ultimo integrale puoi risolverlo con la sostituzione che ti ho suggerito prima.
$$\int \frac{e^{-y}-1}{y^{3/2}} dy = -\frac{1}{2} \frac{e^{-y}-1}{y^{1/2}} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{-y}}{y^{1/2}} dy$$
Ora tieni conto del fatto che $\lim_{y \to 0} \frac{e^{-y}-1}{y^{1/2}} = 0$ e che $\lim_{y \to +\infty} \frac{e^{-y}-1}{y^{1/2}} = 0$ e l'ultimo integrale puoi risolverlo con la sostituzione che ti ho suggerito prima.
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