Integrale con Residuo

[Blizz1]

In questo esercizio:



Non riesco a capire esattamente quanti poli ho. Sicuramente ho quello semplice in $z=-1$, ma il termine a numeratore $z^{-\frac{1}{2}}$ che portato a denominatore diventa $z^{\frac{1}{2}}$ che poli mi da?

[luc.mm]

E' un punto di diramazione, non è un polo. Infatti la funzione così definita è polidroma, ovvero allo stesso valore $ z $ associa i due diversi valori $ f_1(z)=1/(sqrt(rho)e^(i(theta)/2)(z+1)) $ e $ f_2(z)=1/(sqrt(rho)e^(i(theta+2pi)/2)(z+1))=-1/(sqrt(rho)e^(i(theta)/2)(z+1)) $ per operare con funzioni del genere (ovvero in particolare radici e logaritmi) sono necessarie delle restrizioni sulla funzione che la rendono olomorfa, primo devi scegliere quale determinazione usare: $ f_1 $ ad esempio, e secondo devi definire la funzione in un dominio che impedisca a una curva continua di fare un giro attorno al punto di diramazione, ad esempio togli l'asse reale positivo in questo caso (visto che il circuito è il cerchio centrato in $-1$ di raggio $ 1/2 $ ti serve la funzione definita per $ z<0 $ per poter integrare su tale curva). La funzione quindi si definisce così:

$ f(z)=1/(sqrt(rho)e^(i(theta)/2)(z+1)) $ per $ z in mathbb(C) \\({z>=0}uu{z=-1}) $ olomorfa.

A questo punto sei libero di usare il teorema dei residui e concludere che:

$ int_(gamma)f(z)dz=int_(gamma)(dz)/(sqrt(rho)e^(i(theta)/2)(z+1))=2 pi i Res(f(z),-1)= 2 pi i 1/(sqrt(1)e^(i(pi)/2))=2pi $

[Blizz1]

Non pensavo fosse così intrippante: non ero nemmeno a conoscenza dell'esistenza delle polidrome! Intanto grazie mille!!