Integrale con residui e trasformata Z
Ecco l'integrale:
$ int_(+delD)^() (e^((2pij)/z)-1)/((z-3)(z-1)^2) $
E' giusto dire che $ z = 3 $ e $ z = 1 $ sono poli semplici?
$ z = 0 $ è una singolarità essenziale?
L'integrale va quindi calcolato così: $ 2 pi j (R[0] + R[1]) $ ?
Dove $ R[0] + R[1] = R[oo] - R[3] $ ?
In un altro esercizio bisogna fare una trasformata Z:
$ 2 ^ ((-1)^n) $
E' corretto scomporlo nel seguente modo: $ 2 ^ ((-1)^n) = 1 + (-1)^n + 1/4 - 1/4(-1)^n $ ?
Grazie in anticipo
$ int_(+delD)^() (e^((2pij)/z)-1)/((z-3)(z-1)^2) $
E' giusto dire che $ z = 3 $ e $ z = 1 $ sono poli semplici?
$ z = 0 $ è una singolarità essenziale?
L'integrale va quindi calcolato così: $ 2 pi j (R[0] + R[1]) $ ?
Dove $ R[0] + R[1] = R[oo] - R[3] $ ?
In un altro esercizio bisogna fare una trasformata Z:
$ 2 ^ ((-1)^n) $
E' corretto scomporlo nel seguente modo: $ 2 ^ ((-1)^n) = 1 + (-1)^n + 1/4 - 1/4(-1)^n $ ?
Grazie in anticipo
Risposte
"lilfo":
E' giusto dire che $z=3$ e $z=1$ sono poli semplici? $z=0$ è una singolarità essenziale?
Giusto.
"lilfo":
L'integrale va quindi calcolato così: $2\pij(R[0]+R[1])$? Dove $R[0]+R[1]=R[oo]-R[3]$?
Quale curva intendi con $+delD$?
Ah si scusami, D è il rettangolo di vertici: -2-j ; -2+j ; 2+j ; 2-j
quindi solo 1 e 0 sono dentro
quindi solo 1 e 0 sono dentro
"lilfo":
Ah si scusami, D è il rettangolo di vertici: -2-j ; -2+j ; 2+j ; 2-j
quindi solo 1 e 0 sono dentro
Dovresti specificare anche il verso di percorrenza.
La funzione integranda ha un polo di ordine 2 in $z=1 $ .
EDIT : Considerazione errata perchè la funzione ha al numeratore uno zero semplice in $z=1 $, uno zero doppio al denominatore e quindi in conclusione $z=1 $ è un polo semplice per la funzione.
EDIT : Considerazione errata perchè la funzione ha al numeratore uno zero semplice in $z=1 $, uno zero doppio al denominatore e quindi in conclusione $z=1 $ è un polo semplice per la funzione.
"Camillo":
La funzione integranda ha un polo di ordine 2 in $z=1$.
Se non mi sbaglio, $\lim_{z->1}(e^((2\pij)/z)-1)=0$.
Sì infatti, z = 1 è uno zero semplice del numeratore e doppio del denominatore quindi un polo semplice della funzione.
L'integrale è fatto sulla frontiera percorsa nel verso positivo, che dovrebbe essere quello antiorario no?
L'integrale è fatto sulla frontiera percorsa nel verso positivo, che dovrebbe essere quello antiorario no?
"lilfo":
L'integrale è fatto sulla frontiera percorsa nel verso positivo, che dovrebbe essere quello antiorario no?
Corretto.
"lilfo":
L'integrale va quindi calcolato così: $2\pij(R[0]+R[1])$? Dove $R[0]+R[1]=R[oo]-R[3]$?
Dovresti ricordare che $R[oo]$ è definito in modo tale che $R[0]+R[1]+R[3]+R[oo]=0$. Quindi, l'integrale vale $2\pij(R[0]+R[1])=-2\pij(R[3]+R[oo])$.
"speculor":
[quote="Camillo"]
La funzione integranda ha un polo di ordine 2 in $z=1$.
Se non mi sbaglio, $\lim_{z->1}(e^((2\pij)/z)-1)=0$.[/quote]
No, non ti sbagli !!
@Camillo
Hai ragione, ho dimenticato il segno meno vicino al residuo all'infinito. Grazie 
Tornando alla questione della singolarità essenziale..come faccio ad individuarla?
Se faccio il limite per z che tende a 0 del modulo della funzione al numeratore ho $ e^(joo) $
Ma essendo un esponenziale complesso il modulo non è sempre unitario e quindi il numeratore nullo? (il limite non dovrebbe esistere per avere la singolarità essenziale)
Per quanto riguarda invece la trasformata zeta sai dirmi se è corretto scomporre in quel modo?
Oppure bisognerebbe fare $ 2^((-1)^z) = (1/2)^n $ ? (Anche se mi sembra più corretto l'altro modo, bo..)
Tornando alla questione della singolarità essenziale..come faccio ad individuarla?
Se faccio il limite per z che tende a 0 del modulo della funzione al numeratore ho $ e^(joo) $
Ma essendo un esponenziale complesso il modulo non è sempre unitario e quindi il numeratore nullo?
(il limite non dovrebbe esistere per avere la singolarità essenziale)Per quanto riguarda invece la trasformata zeta sai dirmi se è corretto scomporre in quel modo?
Oppure bisognerebbe fare $ 2^((-1)^z) = (1/2)^n $ ? (Anche se mi sembra più corretto l'altro modo, bo..)
"lilfo":
Tornando alla questione della singolarità essenziale...come faccio ad individuarla? Se faccio il limite per z che tende a 0 del modulo della funzione al numeratore ho $e^(joo)$. Ma essendo un esponenziale complesso il modulo non è sempre unitario e quindi il numeratore nullo? (il limite non dovrebbe esistere per avere la singolarità essenziale).
Infatti, $lim_(z->0)[e^((2\pij)/z)]$ non esiste. Basterebbe considerare la restrizione sull'asse x:
$lim_(x->0)[e^((2\pij)/x)]=lim_(x->0)[cos((2\pi)/x)+jsen((2\pi)/x)]=lim_(x->0)[cos((2\pi)/x)]+jlim_(x->0)[sen((2\pi)/x)]$
Altrimenti, puoi esprimere $[e^((2\pij)/z)]$ con il noto sviluppo per renderti conto che hai infiniti termini con esponenti negativi. Un'ultima osservazione. Il modulo è unitario se $z$ è reale, in generale le cose si complicano.
"lilfo":
Per quanto riguarda invece la trasformata zeta sai dirmi se è corretto scomporre in quel modo? Oppure bisognerebbe fare $ 2^((-1)^z) = (1/2)^n $ ? (Anche se mi sembra più corretto l'altro modo, bo...)
Purtroppo, non conosco bene l'argomento. Se non ti aiuta nessuno, ci darò un'occhiata.
Grazie per il chiarimento 
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