[INTEGRALE CON RESIDUI] - Delucidazione
\[
\int_{+\partial D} \frac{\sin(zˆ2)\ \cos(\frac{\pi}{2} z^2)}{z^3\ (z^2 + 1)^2}\ \text{d} z
\]
dove \(D\) è il triangolo di vertici \(-\frac{1}{2} \jmath\), \(1+2\jmath\) e \(-1+2\jmath\).
ragazzi la mia domanda è semplice: mi trovo, tra le altre cose, 4 poli semplici in 0 al numeratore, e al denominatore un polo triplo in 0. come si abbassa il grado del polo al denominatore?
questo aspetto non mi è tanto chiaro.
grazie per le risposte.
\int_{+\partial D} \frac{\sin(zˆ2)\ \cos(\frac{\pi}{2} z^2)}{z^3\ (z^2 + 1)^2}\ \text{d} z
\]
dove \(D\) è il triangolo di vertici \(-\frac{1}{2} \jmath\), \(1+2\jmath\) e \(-1+2\jmath\).
ragazzi la mia domanda è semplice: mi trovo, tra le altre cose, 4 poli semplici in 0 al numeratore, e al denominatore un polo triplo in 0. come si abbassa il grado del polo al denominatore?
questo aspetto non mi è tanto chiaro.
grazie per le risposte.
Risposte
Mi sfugge come numeratore e denominatore possano avere poli, in quanto sono entrambe funzioni intere.
"gugo82":
Mi sfugge come numeratore e denominatore possano avere poli, in quanto sono entrambe funzioni intere.
scusami zˆ3 = 0 non è polo triplo ?
"giovymc":
[quote="gugo82"]Mi sfugge come numeratore e denominatore possano avere poli, in quanto sono entrambe funzioni intere.
scusami zˆ3 = 0 non è polo triplo ?[/quote]
Saresti così gentile da spiegarmi come fa la funzione \( z^3\), che è intera (cioè olomorfa in tutto il piano complesso), ad avere un polo, per di più triplo, in \(0\)?
"gugo82":
[quote="giovymc"][quote="gugo82"]Mi sfugge come numeratore e denominatore possano avere poli, in quanto sono entrambe funzioni intere.
scusami zˆ3 = 0 non è polo triplo ?[/quote]
Saresti così gentile da spiegarmi come fa la funzione \(z^3\), che è intera (cioè olomorfa in tutto il piano complesso), ad avere un polo, per di più triplo, in \(0\)?[/quote]
allora anzitutto ho errato la terminologia, si parla, chiaramente, di zeri al numeratore e di poli al denominatore.
Se è vero che numeratore e denominatore presi singolarmente sono funzioni intere, tutta la funzione non lo è.
la funzione in questione ha, tra le altre cose, un polo triplo in 0.
"giovymc":
[quote="gugo82"][quote="giovymc"]scusami zˆ3 = 0 non è polo triplo ?
Saresti così gentile da spiegarmi come fa la funzione \(z^3\), che è intera (cioè olomorfa in tutto il piano complesso), ad avere un polo, per di più triplo, in \(0\)?[/quote]
allora anzitutto ho errato la terminologia, si parla, chiaramente, di zeri al numeratore e di poli al denominatore.[/quote]
"Chiaramente"... Mica tanto.
Dovresti ben sapere che i poli del rapporto tra due funzioni intere si trovano in corrispondenza degli zeri del denominatore non compensati (nel senso dell'ordine) da zeri del numeratore.
Quindi non vedo cosa c'entrino in questo caso (in cui la funzione integranda è, per l'appunto, il rapporto tra funzioni intere) i poli del denominatore... Che non esistono.
"giovymc":
Se è vero che numeratore e denominatore presi singolarmente sono funzioni intere, tutta la funzione non lo è.
Beh, su questo non ci piove.
"giovymc":
la funzione in questione[...]
Quale?
Tutto l'integrando suppongo...
"giovymc":
[...] ha, tra le altre cose, un polo triplo in 0.
Ma anche no.
Come si calcola l'ordine di un polo?
Ciao scusami ho risolto il problema con questo esercizio appena ho la possibilità ti scrivo meglio che cosa intendevo e grazie comunque per l`interessamento.
Ora ho un altro dubbio, sto svolgendo un esercizio su Fourier nella fattispecie la traccia è questa:
5) Determinare trasformata e serie di Fourier del prolungamento periodico, di periodo T = 2pi, della funzione:
x0(t) = (|t| - 1)| cos(t)|[u(t + pi) u(t - pi)]
nello svolgere i moduli so che
|cos (t)| > 0 se (-pi/2) < t < (pi/2)
|cos (t)| < 0 se -pi< t < (-pi/2) U pi/2 < t < pi
|t| > 0
il punto è come tenere in conto di questo t, quando sviluppo i modulo? proprio non capisco...
non mi trovo su una circonferenza trigonometrica? sono un po`confuso
grazie ancora per le eventuali risposte
Ora ho un altro dubbio, sto svolgendo un esercizio su Fourier nella fattispecie la traccia è questa:
5) Determinare trasformata e serie di Fourier del prolungamento periodico, di periodo T = 2pi, della funzione:
x0(t) = (|t| - 1)| cos(t)|[u(t + pi) u(t - pi)]
nello svolgere i moduli so che
|cos (t)| > 0 se (-pi/2) < t < (pi/2)
|cos (t)| < 0 se -pi< t < (-pi/2) U pi/2 < t < pi
|t| > 0
il punto è come tenere in conto di questo t, quando sviluppo i modulo? proprio non capisco...
non mi trovo su una circonferenza trigonometrica? sono un po`confuso
grazie ancora per le eventuali risposte
"giovymc":
Determinare trasformata e serie di Fourier del prolungamento periodico, di periodo T = 2pi, della funzione:
x0(t) = (|t| - 1)| cos(t)|[u(t + pi) u(t - pi)]
nello svolgere i moduli so che
|cos (t)| > 0 se (-pi/2) < t < (pi/2)
|cos (t)| < 0 se -pi< t < (-pi/2) U pi/2 < t < pi
|t| > 0
il punto è come tenere in conto di questo t, quando sviluppo i modulo? proprio non capisco...
non mi trovo su una circonferenza trigonometrica? sono un po`confuso
Quello di ricorrere alla circonferenza è un artificio grafico per risolvere le disequazioni goniometriche... Una volta trovate le soluzioni della disequazione, esse vanno intese come numeri reali (e rappresentate sull'asse reale), non come misure di archi orientati.
Quindi non c'è alcun problema, no?
"gugo82":
[quote="giovymc"]Determinare trasformata e serie di Fourier del prolungamento periodico, di periodo T = 2pi, della funzione:
x0(t) = (|t| - 1)| cos(t)|[u(t + pi) u(t - pi)]
nello svolgere i moduli so che
|cos (t)| > 0 se (-pi/2) < t < (pi/2)
|cos (t)| < 0 se -pi< t < (-pi/2) U pi/2 < t < pi
|t| > 0
il punto è come tenere in conto di questo t, quando sviluppo i modulo? proprio non capisco...
non mi trovo su una circonferenza trigonometrica? sono un po`confuso
Quello di ricorrere alla circonferenza è un artificio grafico per risolvere le disequazioni goniometriche... Una volta trovate le soluzioni della disequazione, esse vanno intese come numeri reali (e rappresentate sull'asse reale), non come misure di archi orientati.
Quindi non c'è alcun problema, no?
[/quote]quindi metto lo 0 proprio tra -(pi/2) e (pi/2) ?
quindi verrebbe una cosa del genere?
(-t-1)(-cos(t))[u(t+pi) - u(t-(pi/2)] + (-t-1)cos(t)[u(t+(pi/2)) - u(t)] + (t-1)cos(t)[u(t) - u(t-(pi/2)] + (t-1)(-cos(t))[u(t-(pi/2) - u(t-pi)]
Ora ho un altro dubbio su una trasformata di Fourier..
(tˆ2 - t)*eˆ(-t)*[u(t+1) - u(t)]
non capisco...
non so se esiste una proprietà di derivazione doppia in w analoga a quella che afferma che tx(t) = -(1/j)X'(w)
se, inoltre, derivassi due volte con l intento di arrivare ad un equazione distribuzionale sparirebbe (tˆ2 - t) e rimarrebbe solo eˆ(-t)
aggiungo un ulteriore dubbio:
come faccio a definire una legge di ricorrenza per tutti gli n diversi dai multipli di 4?
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