Integrale con residui da 0 a 2 pi
Ciao a tutti! Se ho un integrale del tipo $\int_0^(2pi) 1/(1-x)^2 dx$, posso fare il prolungamento analitico in C e trattarlo come un integrale su una circonferenza. A questo punto dovrei prendere le singolarità interne e calcolarne i residui, ma nell'esempio precedente ho un polo doppio in $x = 1$, che si trova sulla frontiera. Devo considerarlo o no?
Grazie!
Grazie!
Risposte
Vuoi interpretare quell'integrale come $ int_0^(2pi) 1/(1-theta)^2 d theta $? Mi pare troppo difficile.
Primo, come fai a fare l'integrale di linea se il percorso contiene la singolarità? Per essere definito era richiesta la continuità della funzione sul percorso. Ma anche se ti ponessi sul cerchio di raggio due scrivendo, $z=2e^(i theta), d theta=(dz)/(2iz) $ come fai a esprimere $ theta=f(z) $? Ti compare un logaritmo.
Il trucco funzionava con le funzioni razionali di seno e coseno perchè sapevi già che $ 2isin theta=e^(itheta)-e^(-itheta)=z-1/z$ sul cerchio di raggio unitario dove il coniugato coincide col reciproco.
Primo, come fai a fare l'integrale di linea se il percorso contiene la singolarità? Per essere definito era richiesta la continuità della funzione sul percorso. Ma anche se ti ponessi sul cerchio di raggio due scrivendo, $z=2e^(i theta), d theta=(dz)/(2iz) $ come fai a esprimere $ theta=f(z) $? Ti compare un logaritmo.
Il trucco funzionava con le funzioni razionali di seno e coseno perchè sapevi già che $ 2isin theta=e^(itheta)-e^(-itheta)=z-1/z$ sul cerchio di raggio unitario dove il coniugato coincide col reciproco.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo