Integrale con residui
Calcolare $int_-infty^(+infty)(x*sinx)/(x^4+1)dx$
Devo risolverlo applicando la teoria dei residui. Pensavo di usare la sostituzione $sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)$, scomporlo in 2 integrali e applicare il lemma di Jordan. Ho provato, ma non sono sicuro del risultato. Al limite se serve vedo di postare qualche passaggio numerico, una volta riordinate le carte.
Voi come fareste?
Devo risolverlo applicando la teoria dei residui. Pensavo di usare la sostituzione $sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)$, scomporlo in 2 integrali e applicare il lemma di Jordan. Ho provato, ma non sono sicuro del risultato. Al limite se serve vedo di postare qualche passaggio numerico, una volta riordinate le carte.
Voi come fareste?
Risposte
Ciao. Secondo me come dici tu funziona. Altrimenti per non raddoppiare gli integrali potresti considerare che $sin x = Im[e^(ix)]$ quindi calcolarti
$\int_(-\infty)^(infty) (x e^(ix))/(x^4+1) dx$
e prendere la parte immaginaria del risultato.
$\int_(-\infty)^(infty) (x e^(ix))/(x^4+1) dx$
e prendere la parte immaginaria del risultato.
Orpo, avevo lasciato la discussione a metà! 
Alla fine ho svolto così:
$int_-R^R(x*sinx/(x^4+1))dx+int_(C_R)(x*sinx/(x^4+1))dx=2pi\i*R_(f)(e^(pi\/4)+e^(3pi\/4))$ con il secondo termine nullo per $R$ tendente a $+\infty$.
Il risultato cercato dunque vale, considerando i residui nei punti $1/sqrt(2)*(1+i)$ e $1/sqrt(2)*(-1+i)$, cioè le singolarità della funzione nel semipiano della parte immaginaria positiva.
$2pi\i*[(1/sqrt(2)*(1+i))*sin(1/sqrt(2)*(1+i))/(2*(1/sqrt(2)*(1+i))*2i)+(1/sqrt(2)*(-1+i))*sin(1/sqrt(2)*(-1+i))/(2*(1/sqrt(2)*(-1+i))*(-2i))]$
$pi\/2*(sin(1/sqrt(2)*(1+i))-sin(1/sqrt(2)*(-1+i)))=pi\*(sin(1/sqrt(2))*cos(i/sqrt(2)))$
ma $cos(i/sqrt(2))=(e^(i*i/sqrt(2))+e^(-i*i/sqrt(2)))=cosh(1/sqrt(2))$
da cui $int_-\infty^(+\infty)(x*sinx/(x^4+1))dx=pi\*sin(1/sqrt(2))*cosh(1/sqrt(2))=0,049$
Con il metodo di alle.fabbri sarei giunto a
$pi\/2*(e^(i*(1/sqrt(2)*(1+i)))-e^(i*(1/sqrt(2)*(-1+i))))$=$pi\/2*(e^(i/sqrt(2))*e^(-1/sqrt(2))-e^(-i/sqrt(2))*e^(-1/sqrt(2)))$
$pi\*i*e^(-1/sqrt(2))*sin(1/sqrt(2))$ e quindi a
$int_-\infty^(+\infty)(x*sinx/(x^4+1))dx=pi\*e^(-1/sqrt(2))*sin(1/sqrt(2))=0,019$
Quale delle due è giusta?
Alla fine ho svolto così:
$int_-R^R(x*sinx/(x^4+1))dx+int_(C_R)(x*sinx/(x^4+1))dx=2pi\i*R_(f)(e^(pi\/4)+e^(3pi\/4))$ con il secondo termine nullo per $R$ tendente a $+\infty$.
Il risultato cercato dunque vale, considerando i residui nei punti $1/sqrt(2)*(1+i)$ e $1/sqrt(2)*(-1+i)$, cioè le singolarità della funzione nel semipiano della parte immaginaria positiva.
$2pi\i*[(1/sqrt(2)*(1+i))*sin(1/sqrt(2)*(1+i))/(2*(1/sqrt(2)*(1+i))*2i)+(1/sqrt(2)*(-1+i))*sin(1/sqrt(2)*(-1+i))/(2*(1/sqrt(2)*(-1+i))*(-2i))]$
$pi\/2*(sin(1/sqrt(2)*(1+i))-sin(1/sqrt(2)*(-1+i)))=pi\*(sin(1/sqrt(2))*cos(i/sqrt(2)))$
ma $cos(i/sqrt(2))=(e^(i*i/sqrt(2))+e^(-i*i/sqrt(2)))=cosh(1/sqrt(2))$
da cui $int_-\infty^(+\infty)(x*sinx/(x^4+1))dx=pi\*sin(1/sqrt(2))*cosh(1/sqrt(2))=0,049$
Con il metodo di alle.fabbri sarei giunto a
$pi\/2*(e^(i*(1/sqrt(2)*(1+i)))-e^(i*(1/sqrt(2)*(-1+i))))$=$pi\/2*(e^(i/sqrt(2))*e^(-1/sqrt(2))-e^(-i/sqrt(2))*e^(-1/sqrt(2)))$
$pi\*i*e^(-1/sqrt(2))*sin(1/sqrt(2))$ e quindi a
$int_-\infty^(+\infty)(x*sinx/(x^4+1))dx=pi\*e^(-1/sqrt(2))*sin(1/sqrt(2))=0,019$
Quale delle due è giusta?
Il risultato con il metodo di alle.fabbri è giusto (anche se è sbagliato il valore numerico 
).
Il problema con il primo metodo è che non puoi applicare il lemma di Jordan in quel modo. Infatti quando hai $e^{iaz}$ se hai $a>0$ devi chiudere nel semipiano superiore, mentre per $a<0$ nel semipiano inferiore. Se applichi il tuo metodo tenendo conto di questo fatto (fai attenzione anche al segno del percorso d'integrazione) ottieni lo stesso risultato.
).Il problema con il primo metodo è che non puoi applicare il lemma di Jordan in quel modo. Infatti quando hai $e^{iaz}$ se hai $a>0$ devi chiudere nel semipiano superiore, mentre per $a<0$ nel semipiano inferiore. Se applichi il tuo metodo tenendo conto di questo fatto (fai attenzione anche al segno del percorso d'integrazione) ottieni lo stesso risultato.
"Eredir":
è sbagliato il valore numerico
Possibile?
In realtà non ho usato il lemma di Jordan. Sulle mie dispense c'è scritto che per calcolare $int_-\infty^(+\infty)f(x)dx$ si usa il fatto che l'integrale esteso al semicerchio $C_R$ tende a 0 se $|f(R*e^(it))|<=M*R^(-k)$, con $k>1$, per $0<=t<=\pi$. Ricontrollerò i primi passaggi, ma non andrebbe bene così?
"Benny":
Possibile?
Mathematica mi dice che $pi\*e^(-1/sqrt(2))*sin(1/sqrt(2)) \approx 1.0063$.
"Benny":
In realtà non ho usato il lemma di Jordan. Sulle mie dispense c'è scritto che per calcolare $int_-\infty^(+\infty)f(x)dx$ si usa il fatto che l'integrale esteso al semicerchio $C_R$ tende a 0 se $|f(R*e^(it))|<=M*R^(-k)$, con $k>1$, per $0<=t<=\pi$. Ricontrollerò i primi passaggi, ma non andrebbe bene così?
Il fatto che riporti è essenzialmente equivalente al lemma di Jordan (qui è sottinteso che il semicerchio è nel semipiano superiore).
In ogni caso il problema è lo stesso. Se scrivi $\sin x = (e^(ix)-e^(-ix))/(2i)$ hai che per $e^(ix)$ sono valide le condizioni per cui $C_R \to 0$, mentre per $e^(-ix)$ no.
Infatti $|e^(iRe^(it))| = e^(-R \sin t) \to 0$ per $R \to \infty$, dal momento che abbiamo $0<=t<=\pi$, ma per $|e^(-iRe^(it))| = e^(R \sin t)$ non funziona. Puoi però applicare il risultato analogo considerando il semicerchio nel semipiano inferiore.
Naturalmente avevi ragione tu riguardo ai risultati numerici: non ho considerato che la funzione seno della mia calcolatrice lavora in gradi e non in radianti. 
Grazie per la spiegazione, ora mi è più chiaro. Farò altri esercizi per essere più pratico, specialmente con i valori complessi.
Grazie per la spiegazione, ora mi è più chiaro. Farò altri esercizi per essere più pratico, specialmente con i valori complessi.
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