Integrale con residui

[Light_1]

Salve a tutti ,
non riesco a farmi venire questo integrale , vi riporto il mio svolgimento.

Prima di tutto vi anticipo che dovrebbe venire

\( I\sim 0.17 \)

Allora mi devo calcolare

$ \int_{0}^{2pi} d theta(cos2theta)/(5-3costheta)= \int_{0}^{2pi} d theta(e^(i2theta)+e^(-i2theta))/(10-3(e^(itheta)+e^(-itheta)) $

A questo punto pongo $z=e^(itheta)$ e mi ritrovo

$ =ioint_(C) (z^2+1/z^2)/(3z^2-10z+3)dz $

dove $C$ è la circonferenza di centro l'origine e raggio $1$ ,

in questo cerchio mi cadono solo due de poli della mia funzione , precisamente

$z=0$ polo doppio
$z=1/3$ polo del primo ordine

Ma allora

$ I=-2pi[Res f(z)|_(z=0)+Res f(z)|_(z=1/3)] $

in pratica :

$ I=-2pi[lim_( z-> 1/3)(z^4+1)/(z^2(z-3))+lim_( z-> 0)(d )/(d z)(z^4+1)/((z-1/3)(z-3)) ] =$

$ =-2pi(-82/24+10/9) $

Si vede ad occhio che non mi sta venendo ,

ringrazio chiunque avrà la pazienza di scovare l' errore.

[walter891]

sei sicuro di aver fatto bene la sostituzione con $e^(itheta)$? a me viene del primo ordine anche il polo $z=0$

[Light_1]

Allora in pratica ho

$ cos2theta=(e^(i2theta)+e^(-i2theta))/2 $

ponendo $z=e^(itheta)$

mi risulta

$(e^(i2theta)+e^(-i2theta))/2 =(z^2+1/z^2)/2$

Da li poi il $z^2$ al denominatore e quindi il polo di second 'ordine .

[Light_1]

Help me

[DelCrossB]

Ciao Light! Anche a me viene lo stesso risultato. Posso chiederti se sei sicuro che quell'integrale debba fare $0.17$?

[Light_1]

Ciao DelCross,

si l' ho calcolato con wolfram

Adesso ci riprovo e ti faccio sapere , ma non credo di essermi sbagliato.

[Light_1]

Ho ricontrollato e viene proprio

$ pi/18~~ 0.17453 $

[Light_1]

Ho trovato il maledetto errore , me ne vergogno un po.

Ecco a voi :

$ 3z^2-10z+3=3(z-1/3)(z-3)!= (z-1/3)(z-3) $

M'ero dimenticato quel fattore $3$ davanti alla scomposizione