Integrale con radici
Buongiorno, durante un esercitazione mi sono imbattutto in un integrale un pò particolare, nel senso che quando provo a risolverlo se seguo la strada apparentemente più semplice ottengo un risultato totalmente discordante da quello che mi restituisce Online Integral Calculator (quindi immagino che la mia strada sia errata). 
Ne ho un paio praticamente identici, ma prendo in considerazione quello teoricamente più semplice.
$\int (xsqrt(x))/(sqrt(x)-1)dx$
Parto con una sostituazione, ovvero:
$ t = sqrt(x)$ --> $dt = 1/(2sqrt(x)) dx$
$ x = t^2 $ --> $ dx = 2t dt $
$\int (xsqrt(x))/(sqrt(x)-1)dx = \int (t^2 *t) / (t - 1) 2t dt = 2\int t^4/(t-1)dt $
E da qui non mi schiodo.....o meglio se mi schiodo mi schiodo male
Come posso risolvere?
Grazie come al solito
Ne ho un paio praticamente identici, ma prendo in considerazione quello teoricamente più semplice.
$\int (xsqrt(x))/(sqrt(x)-1)dx$
Parto con una sostituazione, ovvero:
$ t = sqrt(x)$ --> $dt = 1/(2sqrt(x)) dx$
$ x = t^2 $ --> $ dx = 2t dt $
$\int (xsqrt(x))/(sqrt(x)-1)dx = \int (t^2 *t) / (t - 1) 2t dt = 2\int t^4/(t-1)dt $
E da qui non mi schiodo.....o meglio se mi schiodo mi schiodo male
Come posso risolvere?
Grazie come al solito
Risposte
Fai la divisione tra i polinomi $ t^4 $ e $ t-1 $.
Il quoziente è: $ t^3+t^2+t+1/(t-1)+1 $ che si integra in modo estremamente semplice.
Il quoziente è: $ t^3+t^2+t+1/(t-1)+1 $ che si integra in modo estremamente semplice.
"Trivroach":
Fai la divisione tra i polinomi $ t^4 $ e $ t-1 $.
Ok provo ad arrivare alla soluzione in questo modo vediamo cosa vien fuori...
Avevo iniziato a percorrere questa strada ma poi mi ero fermato perchè mi sembrava errata rispetto come detto ad Online Integral Calculator
Ti aggiorno....intanto grazie...
Perfetto sono arrivato al risultato finale del calcolo dell'integrale indefinito, il risultato è:
$x^2/2 + 2/3 sqrt(x^3) + x + 2 sqrt(x) + 2 log | sqrt(x)-1| + c $
O.I.C. lo riporta diversamente ma a conti fatti il risultato è lo stesso
A questo punto il passo successivo richiesto è calcolare lo stesso integrale ma definito con estremi di integrazione $ 0 - 1 $
Chiaramente non rifaccio tutti i conti, ma considero solo una primitiva.
Ho solo due dubbi:
1) gli estremi di integrazione devo cambiarli? In questo caso restano per casualità $ 0 - 1 $ ma se fossero stati diversi li avrei dovuti cambiare? Ho il dubbio perchè in fin dei conti io ho sostituito la variabile $x$ con $t$ ma poi alla fine sono tornato in $x$
2) Nel calcolo dell'integrale definito mi trovo con $ log |0| $ (con estremo 1). Come mi devo comportare con tale quantità? La scarto considerandola nulla oppure non posso operare in tal senso?
$x^2/2 + 2/3 sqrt(x^3) + x + 2 sqrt(x) + 2 log | sqrt(x)-1| + c $
O.I.C. lo riporta diversamente ma a conti fatti il risultato è lo stesso
A questo punto il passo successivo richiesto è calcolare lo stesso integrale ma definito con estremi di integrazione $ 0 - 1 $
Chiaramente non rifaccio tutti i conti, ma considero solo una primitiva.
Ho solo due dubbi:
1) gli estremi di integrazione devo cambiarli? In questo caso restano per casualità $ 0 - 1 $ ma se fossero stati diversi li avrei dovuti cambiare? Ho il dubbio perchè in fin dei conti io ho sostituito la variabile $x$ con $t$ ma poi alla fine sono tornato in $x$
2) Nel calcolo dell'integrale definito mi trovo con $ log |0| $ (con estremo 1). Come mi devo comportare con tale quantità? La scarto considerandola nulla oppure non posso operare in tal senso?
1) No, non li devi cambiare, hai trovato già la primitiva. Se calcolavi direttamente l'integrale definito allora si.
2) C'è una singolarità, per quella situazione dovresti andare a vedere l'integrale improprio,
2) C'è una singolarità, per quella situazione dovresti andare a vedere l'integrale improprio,
ciao,
l'integrale che hai proposto, ma con estremi 0 e 1 è un integrale improprio !
assolutamente no ! $ log|0| rarr -\infty $ e non si annulla !!!
Devi studiare evidentemente l'integrale improrpio !
l'integrale che hai proposto, ma con estremi 0 e 1 è un integrale improprio !
Nel calcolo dell'integrale definito mi trovo con log|0| (con estremo 1). Come mi devo comportare con tale quantità? La scarto considerandola nulla oppure non posso operare in tal senso?
assolutamente no ! $ log|0| rarr -\infty $ e non si annulla !!!
Devi studiare evidentemente l'integrale improrpio !
"feddy":
ciao, l'integrale che hai proposto, ma con estremi 0 e 1 è un integrale improprio !
Il fatto che siamo improprio lo deduciamo dal fatto che la funzione integranda non può avere denominatore uguale a zero?
A tal proposito vorrei porti una domanda su di un altro integrale che invece ho risolto non trattandolo da improprio ma che a questo punto non sono sicuro sia corretto.
L'integrale è:
$\int_0^2 xln(x)dx $
Come risultato ottengo
- primitive = $ x(ln(x)-1) + c $
- integrale definito $ 2 ( log(2) - 1) - 0 (log(0)-1) = 2log(2)-1$
Anche O.I.C. mi restituisce questo rislutato, ma non sono sicuro a questo punto della correttezza, dato che il campo di esistenza della funzione integranda anche in questo caso dovrebbe essere $ x > 0 $
[Il fatto che siamo improprio lo deduciamo dal fatto che la funzione integranda non può avere denominatore uguale a zero?
Sostanzialmente sì. Il denominatore presenta delle singolarità...
Anche O.I.C. mi restituisce questo rislutato, ma non sono sicuro a questo punto della correttezza, dato che il campo di esistenza della funzione integranda anche in questo caso dovrebbe essere $x>0$
Il risultato finale che riporta il tuo risolutore è corretto... ma la tua motivazione assolutamente no.
1.) La tua primitiva non è corretta... essa risulta: $ 1/2x^2log(x) -x^2/4 +c $
2.)Nella tua risoluzione,(terz'ultima riga), è evidente che hai assunto $log(0) = 0$
come prima ... Esso è un integrale improprio, e avresti potuto accorgertene osservando, per esempio, che l'argomento del logaritmo deve essere sempre maggiore stretto di 0$D: log(x): x>0$
Ti invito a vedere questi strumenti online come verifica più che come verità cadute dal cielo, perché talvolta possono indurti in errore oppure compromettere il ragionamento...
risolvendo l'integrale improprio avrai che:
$ [1/2x^2*log(x)-x^2/4] $ tra 0 e 2.
Sosituendo $x=2$:
$ 2log(2) -1-lim_(x -> 0)x^2*log(x)/2-x^2/4 $ , tale limite vale $0$. e pertanto la risposta è confermata
$ [1/2x^2*log(x)-x^2/4] $ tra 0 e 2.
Sosituendo $x=2$:
$ 2log(2) -1-lim_(x -> 0)x^2*log(x)/2-x^2/4 $ , tale limite vale $0$. e pertanto la risposta è confermata
Ti ringrazio sei stato chiarissimo.
Scusate un piccolo dubbio che richiede conferma
Se per esempio ho il seguente integrale è corretto dire che l'integrale e pari a $ -00 $ oppure vedento che è $ -00$ il risultato è meglio dire che è un integrale divergente, che non cambia nulla in fin dei conti, ma mi suona strano pensare al valore di un trapezoide pari a meno infinito
$ \int_0^1 1/x dx = [ log|x|]_0^1 = log|1| - lim x->0 log|x| = 0 - 00 = -00 $
E' corretto il tutto?
Se per esempio ho il seguente integrale è corretto dire che l'integrale e pari a $ -00 $ oppure vedento che è $ -00$ il risultato è meglio dire che è un integrale divergente, che non cambia nulla in fin dei conti, ma mi suona strano pensare al valore di un trapezoide pari a meno infinito
$ \int_0^1 1/x dx = [ log|x|]_0^1 = log|1| - lim x->0 log|x| = 0 - 00 = -00 $
E' corretto il tutto?
Dovrebbe suonar strano anche perché la funzione $1/x$ nell'intervallo $0
$int_(0)^(1)1/xdx=[logx]_(0)^(1)=log(1)-lim_(x->0^+)log(x)=-(-infty)=+infty$
$int_(0)^(1)1/xdx=[logx]_(0)^(1)=log(1)-lim_(x->0^+)log(x)=-(-infty)=+infty$
"anto_zoolander":
$int_(0)^(1)1/xdx=[logx]_(0)^(1)=log(1)-lim_(x->0^+)log(x)=-(-infty)=+infty$
Hai ragione, che tonto che sono stato, mi sono dimenticato il segno
Comunque grazie per la spiegazione, il concetto ora mi è chiaro, se mi capita a tiro un integrale improprio ho almeno idea di cosa fare
Grazie Mille. Senza di voi avrei la metà della preparazione che ho oggi ....siete forti
Speriamo quindi presto di poter onorare al meglio questi insegnamenti
Domanda forse stupida, ma meglio esser sicuri (dato che ho l'esame fra pochissimi giorni).
Ho svolto un esercizio relativo ad un integrale improprio, ed ottengo come risultato $ -00 $...quindi un integrale divergente.
L'aver ottenuto un valore negativo è auspicabile/possibile? Oppure ho commesso un grossolano errore?
Ho svolto un esercizio relativo ad un integrale improprio, ed ottengo come risultato $ -00 $...quindi un integrale divergente.
L'aver ottenuto un valore negativo è auspicabile/possibile? Oppure ho commesso un grossolano errore?
No, non è una domanda stupida. Di fatti in geometria non ha senso definire un'area negativa visto che l'area si ricava da lunghezze, che sono positive. Negli integrali definiti c'è stato il bisogno di introdurre il concetto di area con segno dove l'area è la parte di piano tra la curva e l'asse delle ascisse(o anche soltanto 'sottesa al grafico della funzione').
Ma da dove esce fuori questo problema del segno? Se ricordi come si arriva all'integrale definito, si parte da 'somme superiori' e 'somme superiori' di Riemann mandate a limite. Considerando che le somme considerano come 'altezze' i valori $f(x)$, è proprio da questo che possiamo ottenere aree concettualmente negative, perché i valori delle altezze $f(x)$ possono anche essere negative.
Ma da dove esce fuori questo problema del segno? Se ricordi come si arriva all'integrale definito, si parte da 'somme superiori' e 'somme superiori' di Riemann mandate a limite. Considerando che le somme considerano come 'altezze' i valori $f(x)$, è proprio da questo che possiamo ottenere aree concettualmente negative, perché i valori delle altezze $f(x)$ possono anche essere negative.
Infatti se per esempio usi l'integrazione numerica, in particolare il metodo dei rettangoli.
$int_(a)^(b)f(x)dx$
puoi approssimarlo come: scegli un numero $n$ di divisioni per l'intervallo $[a,b]$, avremo tante basi di lunghezza $h=(b-a)/n$
$[(b-a)/n]sum_(j=1)^(n)f(x_j)=h[f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)]$
è ovvio gli intervalli dove prendo $f(x_n)$ negativo, mi riporteranno un'area negativa.
Naturalmente se scegli come altezza il minimo della funzione(nell'intervallo), approssimi per difetto. Se invece scegli il massimo della funzione(nell'intervallo), allora la starai approssimando per eccesso. Questo dove la funzione è nel semipiano positivo delle ordinate, se consideri il semipiano negativo la situazione eccesso/max - difetto/min la situazione è invertita.
$int_(a)^(b)f(x)dx$
puoi approssimarlo come: scegli un numero $n$ di divisioni per l'intervallo $[a,b]$, avremo tante basi di lunghezza $h=(b-a)/n$
$[(b-a)/n]sum_(j=1)^(n)f(x_j)=h[f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)]$
è ovvio gli intervalli dove prendo $f(x_n)$ negativo, mi riporteranno un'area negativa.
Naturalmente se scegli come altezza il minimo della funzione(nell'intervallo), approssimi per difetto. Se invece scegli il massimo della funzione(nell'intervallo), allora la starai approssimando per eccesso. Questo dove la funzione è nel semipiano positivo delle ordinate, se consideri il semipiano negativo la situazione eccesso/max - difetto/min la situazione è invertita.
Ti ringrazio della spiegazione, ma direi che è un pò troppo avanzata per le mie conoscenze attuali....non conosco infatti alcuni punti cui hai fatto riferimento.
Ho cercato comunque di afferrare il concetto principale, e mi sembra di capire che sia quindi possibile ottenere un valore negativo.....in sostanza il segno indica solo che l'area si trova al di sotto dell'asse delle ascisse
Ad ogni modo nel mio specifico caso io ottengo come risultato di un integrale improprio come parte fondamentale $ lim e->0 log ((1-e)-1) - (log 1) =$ e pertanto ottengo come risultato $ -00 - 0$ alias $-00$.
L'integrale di partenza è proprio questo (quindi funzione illimitata per x = 1):
$\int_{0}^{1} (xsqrt(x))/(sqrt(x)-1)dx$
Se il risultato è corretto in linea di massima dovrei aver capito come muovermi tra gli integrali impropri...altrimenti c'è ancora da lavorare
Ho cercato comunque di afferrare il concetto principale, e mi sembra di capire che sia quindi possibile ottenere un valore negativo.....in sostanza il segno indica solo che l'area si trova al di sotto dell'asse delle ascisse
Ad ogni modo nel mio specifico caso io ottengo come risultato di un integrale improprio come parte fondamentale $ lim e->0 log ((1-e)-1) - (log 1) =$ e pertanto ottengo come risultato $ -00 - 0$ alias $-00$.
L'integrale di partenza è proprio questo (quindi funzione illimitata per x = 1):
$\int_{0}^{1} (xsqrt(x))/(sqrt(x)-1)dx$
Se il risultato è corretto in linea di massima dovrei aver capito come muovermi tra gli integrali impropri...altrimenti c'è ancora da lavorare
Si l'integrale non converge. Infatti il risultato è proprio $-infty$ 
comunque non è concettualmente difficile, io ancora non sono pienamente dentro il discorso. Il concetto è capire da dove nasca l'integrale definito secondo Riemann, che sarebbe questo tipo di integrale.
comunque non è concettualmente difficile, io ancora non sono pienamente dentro il discorso. Il concetto è capire da dove nasca l'integrale definito secondo Riemann, che sarebbe questo tipo di integrale.
"anto_zoolander":
Si l'integrale non converge. Infatti il risultato è proprio $-infty$
Ecco, quello che mi interessava capire è se potevo per l'appunto ottenere come risultato meno infinito. A quanto pare si. Proprio ora ne ho fatto un altro paio simili, ed in un caso ottengo meno infinito nell'altro più infinito.
In pratica ottenendo sempre come primitive dei logaritmi, quando è l'estremo superiore ad essere il fastidioso, ottengo meno infinito, quando è quello inferiore ottengo più infinito, più che altro per la regola dei segni che mi cambia il meno infinito quando si trova nella seconda parte del calcolo finale dell'integrale proprio
"anto_zoolander":
io ancora non sono pienamente dentro il discorso.
A me sembra che comunque sei sulla buona strada, altrochè....
Io viceversa sono completamente fuori, l'importante però è che non scriva cose troppo assurde all'esame...che poi il Prof mi strappa il compito
"Alex_SSRI":
In pratica ottenendo sempre come primitive dei logaritmi
si sono fastidiosi
però una volta imparato a gestirli, è tutto un giochetto. Basta ricordarsi le funzioni come si comportano naturalmente ci saranno sempre casi difficili."Alex_SSRI":
A me sembra che comunque sei sulla buona strada
E' più che altro frutto di studi personali, sono uscito ieri dal liceo. Quindi può farlo chiunque
"anto_zoolander":
E' più che altro frutto di studi personali, sono uscito ieri dal liceo.
Beh vista la situazione, allora complimenti due volte ed in bocca al lupo per il tuo percorso futuro che immagino non si fermerà di certo al Liceo
Ah dimenticavo....Grazie....
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo