Integrale con radice quadrata
Salve,
Volevo chiedere come occorre procedere quando si ha a che fare con un integrale di questo tipo:
$\int \frac{1}{\sqrt {ax^2+bx+c}}dx$
Ho provato ad esprimere il polinomio come il prodotto $a(x-x_1)(x-x_2)$ ma a quel punto non so più come continuare.
Grazie
Volevo chiedere come occorre procedere quando si ha a che fare con un integrale di questo tipo:
$\int \frac{1}{\sqrt {ax^2+bx+c}}dx$
Ho provato ad esprimere il polinomio come il prodotto $a(x-x_1)(x-x_2)$ ma a quel punto non so più come continuare.
Grazie
Risposte
Riscrivi l'integrale in questo modo:
$ int_()^() (ax^2 + bx + c)^(-1/2) dx $
Prova a scomporre $ ax^2 + bx + c $ e vedi cosa riesci a combinare, magari usando il metodo di sostituzione.
$ int_()^() (ax^2 + bx + c)^(-1/2) dx $
Prova a scomporre $ ax^2 + bx + c $ e vedi cosa riesci a combinare, magari usando il metodo di sostituzione.
Non puoi rispondere in maniera generale, in quanto dipende dai valori che assumono [tex]a[/tex],[tex]b[/tex] e [tex]c[/tex].
Puoi avere 3 casi:
1) [tex]ax^2+bx+c[/tex] è un quadrato perfetto che corrisponde a [tex]\Delta=0[/tex]. La primitiva diventa banalmente un logaritmo.
2) Le soluzioni dell'equazione [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] sono immaginarie, ovvero [tex]\Delta<0[/tex]. In questo caso ti devi riportare ad una forma tale da poter sfruttare il seguente integrale immediato:
[tex]\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\sinh^{-1}(x)+c[/tex]
3) Se [tex]\Delta>0[/tex] e [tex]a<0[/tex], allora ti devi ricondurre al seguente integrale immediato:
[tex]\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1}(x)+c[/tex]
Puoi avere 3 casi:
1) [tex]ax^2+bx+c[/tex] è un quadrato perfetto che corrisponde a [tex]\Delta=0[/tex]. La primitiva diventa banalmente un logaritmo.
2) Le soluzioni dell'equazione [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] sono immaginarie, ovvero [tex]\Delta<0[/tex]. In questo caso ti devi riportare ad una forma tale da poter sfruttare il seguente integrale immediato:
[tex]\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\sinh^{-1}(x)+c[/tex]
3) Se [tex]\Delta>0[/tex] e [tex]a<0[/tex], allora ti devi ricondurre al seguente integrale immediato:
[tex]\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1}(x)+c[/tex]
Ok. Ci provo. Grazie.
Quell'integrale può essere risolto con una sostituizione.
Distinguiamo due casi:
1. [tex]$a > 0$[/tex]
Imponi [tex]$\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a} \cdot(x-t)$[/tex] (*)
Da questa ricavi la [tex]$x$[/tex] (dopo aver elevato al quadrato entrambi i membri) e, ovviamente anche il [tex]$dx$[/tex].
Dopodichè sostituisci ed il gioco è fatto.
Cioè, per essere chiaro al massimo::
Elevo entrambi i membri al quadrato:
[tex]${ax^2+bx+c} = a \cdot(x^{2}+t^{2}-2xt)$[/tex]
[tex]$ bx+c = a t^{2}-2axt$[/tex]
[tex]$x(b+2at) = at^2 -c$[/tex]
[tex]$x= \frac {at^2 -c} {b+2at}$[/tex] (**)
[tex]$dx = \frac{2at (b+2at) - 2a (at^2 -c)} {(b+2at)^2} =\frac{2a^2t^2+2atb+2ac} {(b+2at)^2} $[/tex] (***)
Ora ritorna alla (*) e al posto di [tex]x[/tex] mettiamo il valore ottenuto dalla (**)
[tex]$\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a} \cdot(\frac {at^2 -c} {b+2at}-t)$[/tex]
Quindi ritornando all'integrale iniziale, basta sostituire al posto della radice l'ultima espressione trovata e al posto di [tex]dx[/tex] il valore ottenuto (***).
Così facendo, molto spesso si giunge ad un integrale molto semplice.
______
2. [tex]$a < 0$[/tex]
Imponi [tex]$\sqrt{ax^2+bx+c} = t \cdot (x-x_1)$[/tex] dove [tex]$x_1$[/tex] è una radice di [tex]$ax^2+bx+c = 0$[/tex]
Procedi come nel primo caso.
Distinguiamo due casi:
1. [tex]$a > 0$[/tex]
Imponi [tex]$\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a} \cdot(x-t)$[/tex] (*)
Da questa ricavi la [tex]$x$[/tex] (dopo aver elevato al quadrato entrambi i membri) e, ovviamente anche il [tex]$dx$[/tex].
Dopodichè sostituisci ed il gioco è fatto.
Cioè, per essere chiaro al massimo::
Elevo entrambi i membri al quadrato:
[tex]${ax^2+bx+c} = a \cdot(x^{2}+t^{2}-2xt)$[/tex]
[tex]$ bx+c = a t^{2}-2axt$[/tex]
[tex]$x(b+2at) = at^2 -c$[/tex]
[tex]$x= \frac {at^2 -c} {b+2at}$[/tex] (**)
[tex]$dx = \frac{2at (b+2at) - 2a (at^2 -c)} {(b+2at)^2} =\frac{2a^2t^2+2atb+2ac} {(b+2at)^2} $[/tex] (***)
Ora ritorna alla (*) e al posto di [tex]x[/tex] mettiamo il valore ottenuto dalla (**)
[tex]$\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a} \cdot(\frac {at^2 -c} {b+2at}-t)$[/tex]
Quindi ritornando all'integrale iniziale, basta sostituire al posto della radice l'ultima espressione trovata e al posto di [tex]dx[/tex] il valore ottenuto (***).
Così facendo, molto spesso si giunge ad un integrale molto semplice.
______
2. [tex]$a < 0$[/tex]
Imponi [tex]$\sqrt{ax^2+bx+c} = t \cdot (x-x_1)$[/tex] dove [tex]$x_1$[/tex] è una radice di [tex]$ax^2+bx+c = 0$[/tex]
Procedi come nel primo caso.
Ma intuitivamente come si fa a riconoscere il giusto metodo da utilizzare per la risoluzione di un integrale indefinito (per parti, sostituzione, decomposizione) ? E soprattutto, la scelta è univoca o può capitare che un integrale si possa risolvere con più di un metodo?
"Orlok":
Ma intuitivamente come si fa a riconoscere il giusto metodo da utilizzare per la risoluzione di un integrale indefinito (per parti, sostituzione, decomposizione) ? E soprattutto, la scelta è univoca o può capitare che un integrale si possa risolvere con più di un metodo?
La scelta non è univoca, tuttavia è conveniente riuscire a capire qual'è il metodo più veloce per risolvere un determinato integrale e in questo gioca un ruolo essenziale l'esperienza che si acquisisce solo facendo molti esercizi.
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