Integrale - con radice

[MatheMato]

Buongiorno a tutti.
Sono caduto sulla risoluzione di questo integrale. Posto come ho provato a risolverlo utilizzando varie sostituzioni, ma non riesco proprio. Qualcuno può aiutarmi, anche solo una dritta per favore?

\(\displaystyle \int\frac{1}{(\sqrt x -1) (x+4)}dx \)

Sostituzione

\(\displaystyle \sqrt x = t \)
\(\displaystyle \int\frac{2t}{(t -1) (t^2+4)}dt \)

\(\displaystyle \frac{2t}{(t -1) (t^2+4)}=\frac{A}{(t -1)} + \frac{B}{(t^2+4)}=\frac{A t^2 + B t + 4A - B}{(t -1) (t^2+4)}\)

\(\displaystyle A=0 \wedge B=2 \wedge 4A-B=0 \Longrightarrow impossibile \)


Cose simili risultano se uso

\(\displaystyle \sqrt x - 1 = t \)
\(\displaystyle \int\frac{2 (t+1)}{t (t^2+2t+5)}dt \)

\(\displaystyle \frac{2 (t+1)}{t (t^2+2t+5)}=\frac{A}{t} + \frac{B}{(t^2+2t+5)}=\frac{A t^2 + (2A+B) t + 5A}{t (t^2+2t+5)}\)

\(\displaystyle A=0 \wedge 2A+B=2 \wedge 5A=2 \Longrightarrow impossibile \)

[Mephlip]

Nel primo tentativo, quando scomponi in fratti semplici devi porre $\frac{2t}{(t-1)(t^2+4)}=\frac{A}{t-1}+\frac{Bt+C}{t^2+4}$.

[MatheMato]

Ecco l'errore che facevo!
Grazie mille!

[Mephlip]

Prego! Anche il secondo metodo funziona se poni $\frac{2(t+1)}{t(t^2+2t+5)}=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{(t+1)^2+4}$, ma è palesemente più laborioso a livello di calcoli (a meno di fare la sostituzione $t+1=s$, che però ti riporta all'approccio precedente); perciò il primo approccio è decisamente più efficace!