Integrale con radice

[FedeAle1525]

Esercitandomi sugli integrali mi sono ritrovata questo esercizio davanti

$\int sqrt(1-x^2)dx$ con $x=sin(t)$

ho provato la risoluzione per parti con $f(x)=sqrt(1-x^2)$, $f^{\prime}(x)=(2x)/(2sqrt(1-x^2))$, $g^{\prime}(x)=1$ e $G(x)=x$ arrivando a questo risultato

$xsqrt(1-x^2)- \int (2x)/(2sqrt(1-x^2))dx$

e non so come andare avanti ^^'
Il risultato sarebbe $1/2arcsin(x)+1/2xsqrt(1-x^2)+c$, ma provando a con sostituzioni e per parti non riesco a farlo venire ^^'
Un piccolo aiutino sarebbe grato :p
Ho anche un altro dubbio, come devo usare la sostituzione che mi viene data all'inizio?

Grazie ^^

[Ziben]

Ciao,
scusa ma hai già scritto la sostituzione che devi fare: $x=sint$ da cui $dx= cost dt$ e ottieni:

$int sqrt(1-sin^2t) cost dt = int cost cost dt$

che puoi integrare per parti ad esempio, oppure ricordando che $cos^2t = (1+cos2t)/2$ integri:

$int (1+cos2t)/2 dt$

da cui ottieni lo stesso risultato. Poi fai la sostituzione inversa $t=arcsinx$

[Antimius]

Come dice Ziben, non c'è bisogno di integrare per parti perché hai già la sostituzione suggerita.
Ma se vuoi farlo per farti (e non per sostituzione), puoi farlo e ottieni (c'è un errore di conto nei tuoi passaggi):
$$ I = x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx $$
Ora, sommando e sottraendo 1, ottieni che:
$$I = x \sqrt{1-x^2} - I + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$$
e quindi
$$ 2I = x \sqrt{1-x^2} + \arcsin x + c$$
da cui il risultato.

[21zuclo]

$ \int \sqrt(1-x^2)dx $

farei $ { ( x=\sin t ),( dx=\cos t dt ):} $

quindi si ha $ \int cos^2(t)dt $

poi come ti hanno già detto $ cos^2(t)=1/2 (1+cos(2t)) $

quindi si ha

$ 1/2 \int 1+cos(2t)dt=1/2 (t+1/2 \sin(2t))=1/2 (t+ \sin(t)\cos(t)) =1/2(t+\sin(t)\sqrt(1-sin^2(t)))$

ora siccome $ x=\sin(t)\to t=\arcsin(x) $

si ha
$ 1/2(\arcsin(x)+x\sqrt(1-x^2))+C $

[FedeAle1525]

Scusate la sparizione, ma in questo giorni non ho avuto tempo di collegarmi e passare sul forum ^^'

Grazie a tutti per le vostre risposte ^^
Grazie al vostro aiuto sono riuscita a risolvere l esercizio