Integrale con quadrato da completare
Ciao a tutti:)
Ho un problema con un integrale...
Eccolo
$ \frac{A}{sqrt(2\pi)}int_{-infty}^{infty}e^(-ax^2+ikx)dx $
La costante A l'ho già precedentemente trovata svolgendo l'integrale di normalizzazione, tuttavia qua riporto solo A per semplicità perché esplicitandola vien lunga.
Tonando all'integrale, suppongo che io debba completare il quadrato, solo che ho dei problemi a capire come..
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Ho provato a sbirciare la soluzione del libro e mi dice:
$ (ax^2+bx)=\sqrt(a)x+\frac{b\sqrt(a)}{2a}-\frac{b^2}{4a} $
Però boh.. mi sfugge come ci sia arrivato e come io avrei dovuto arrivarci ahaha
Grazie mille ^_^
Ho un problema con un integrale...
Eccolo
$ \frac{A}{sqrt(2\pi)}int_{-infty}^{infty}e^(-ax^2+ikx)dx $
La costante A l'ho già precedentemente trovata svolgendo l'integrale di normalizzazione, tuttavia qua riporto solo A per semplicità perché esplicitandola vien lunga.
Tonando all'integrale, suppongo che io debba completare il quadrato, solo che ho dei problemi a capire come..
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Ho provato a sbirciare la soluzione del libro e mi dice:
$ (ax^2+bx)=\sqrt(a)x+\frac{b\sqrt(a)}{2a}-\frac{b^2}{4a} $
Però boh.. mi sfugge come ci sia arrivato e come io avrei dovuto arrivarci ahaha
Grazie mille ^_^
Risposte
Il modo per arrivare a completare il quadrato è lo stesso che si usa per dimostrare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado:
$-ax^2$ è il quadrato di $ixsqrta$
$ikx$ è il doppio prodotto di $ixsqrta$ per il termine da trovare che chiamo $y$, quindi $2*y*ixsqrta=ikx$, da cui $y=k/(2sqrta)$
adesso manca il quadrato del secondo addendo $(k/(2sqrta))^2=k^2/(4a)$
Ricapitolando
$(-ax^2+ikx)= (-ax^2+ikx +k^2/(4a))-k^2/(4a)= (ixsqrta+k/(2sqrta))^2-k^2/(4a)$
Se, invece, ti serviva $-(ax^2-ikx)= -(ax^2-ikx -k^2/(4a))-k^2/(4a)= -(xsqrta-ik/(2sqrta))^2-k^2/(4a)$
$-ax^2$ è il quadrato di $ixsqrta$
$ikx$ è il doppio prodotto di $ixsqrta$ per il termine da trovare che chiamo $y$, quindi $2*y*ixsqrta=ikx$, da cui $y=k/(2sqrta)$
adesso manca il quadrato del secondo addendo $(k/(2sqrta))^2=k^2/(4a)$
Ricapitolando
$(-ax^2+ikx)= (-ax^2+ikx +k^2/(4a))-k^2/(4a)= (ixsqrta+k/(2sqrta))^2-k^2/(4a)$
Se, invece, ti serviva $-(ax^2-ikx)= -(ax^2-ikx -k^2/(4a))-k^2/(4a)= -(xsqrta-ik/(2sqrta))^2-k^2/(4a)$
Okay grazie mille, gentilissima.
Penso però che la formula finale fosse $ -(\sqrt(a)x+\frac{ik}{2\sqrt(a)})^2-\frac{k^2}{4a} $
Poi però come continuerei l'integrale?
Penso però che la formula finale fosse $ -(\sqrt(a)x+\frac{ik}{2\sqrt(a)})^2-\frac{k^2}{4a} $
Poi però come continuerei l'integrale?
Quel calcolo con il metodo del completamento del quadrato è spiegato bene sul Reed & Simon, "Methods of modern mathematical physics", nel capitolo sull'analisi di Fourier, primo volume
Purtroppo non ho il libro 
Proverò a cercare comunque 
)
Grazie!
Proverò a cercare comunque )Grazie!
Tieni:
https://books.google.fr/books?id=rpFTTj ... on&f=false
(Se poi vuoi il libro completo cerca una scansione su internet, la troverai facilmente)
https://books.google.fr/books?id=rpFTTj ... on&f=false
(Se poi vuoi il libro completo cerca una scansione su internet, la troverai facilmente)
Grazie ^_^!!!!!
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