Integrale con prodotto fra radice ed potenza

[Tricka90]

\[\int x^3\sqrt{1+5x^2}\]
Ho provato con integrali notevoli, metodi di sostituzione, di integrazione per parti ma non riesco proprio a risolvere questo integrale. Avete qualche idea?

[SaraSueEss]

Penso ti sia utile:



e anche:

[Tricka90]

Fantastico ! =-O
Ti posso chiedere da dove hai estratto queste dispense?

[SaraSueEss]

Studio Matematica a Pisa, sono le dispense del mio prof di Analisi

[Tricka90]

Comunque non sono riuscito a risolvere nemmeno con queste formule purtroppo....

[Clorinda1]

Hai provato a fare i passaggi scritti sopra?
A quale integrale sei riuscita a ricondurti?

[SaraSueEss]

$\int x^3(1+5x^2)^(1/2)dx$

$m=3$, $q=1/2$, $p=2$

$(m+1)/p=2$ quindi è intero

$=>$ applico la sostituzione $x^p=t$

in questo caso $x^2=t$

$=>$ $x=sqrtt$ e $dx=1/(2sqrtt)$

sostituendo ottengo: $1/2\int tsqrt(1+5t)dt$

a questo punto è sufficiente:



pongo $1+5t=u^2$

$=>$ $t=(u^2-1)/5$ e $dt=(2u)/5$

sostituendo ottengo: $1/25\int (u^4 -u^2)du$ $=$ $1/25(u^5/5 - u^3/3)$

bisogna solo risostituire $u=sqrt(1+5t)$ e $t=x^2$