Integrale con passaggio a coordinate sferiche

[zio_mangrovia]

Dato $\int_Tx$ $dx$ $dy$ $dz$ dove $T={(x,y,z)inRR^3: x>=0, y>=0, z>=0, x^2+y^2+z^2<=1}$

Mi trovo in contraddizione con quanto esposto negli appunti reperiti in copisteria cioè:

$\int_0^1$ $d\rho$ $\int_0^(pi/2)$ $d\theta$ $\int_0^(pi/2)((\rhocos\varphicos\theta)\rho^2cos\varphi)$ $d\varphi$

io invece avrei scritto:

$\int_0^1$ $d\rho$ $\int_0^(pi/2)$ $d\theta$ $\int_0^(pi/2)((\rhocos\varphisin\theta)\rho^2sin\varphi)$ $d\varphi$

[killing_buddha]

Forse dipende da come parametrizzi $RR^3$ in coordinate sferiche, ma con la parametrizzazione standard è giusto il secondo; occhio che però hai sbagliato il determinante del cambio di coordinate, è $\rho^2\sin \theta$, non $\rho^2\sin \varphi$.

[zio_mangrovia]

"killing_buddha":Forse dipende da come parametrizzi $RR^3$ in coordinate sferiche, ma con la parametrizzazione standard è giusto il secondo; occhio che però hai sbagliato il determinante del cambio di coordinate, è $\rho^2\sin \theta$, non $\rho^2\sin \varphi$.

Grazie, ho visto