Integrale con parametro (esame di analisi 1)
ciao, all esame di analisi 1 mi sono trovato davanti questo integrale:
$\ \int_0^pi cosx/sqrt(1+sin^ax) \text{d} x$
Qualcuno di voi sa come iniziare? sono settimane che provo.
$\ \int_0^pi cosx/sqrt(1+sin^ax) \text{d} x$
Qualcuno di voi sa come iniziare? sono settimane che provo.
Risposte
Sfrutta la simmetria $f(\pi-x)=-f(x)$ dove $x \in [0, \pi/2]$...
grazie del tuo solito aiuto 
quindi dovrei utilizzare la sostituzione $pi-x=t$ $->$ $x=pi-t$?
quindi dovrei utilizzare la sostituzione $pi-x=t$ $->$ $x=pi-t$?
Ho provato in questo modo:
$ \int_0^pi cosx/sqrt(1+sen^ax)$
sostituisco $t=1+sen^ax$ e $dt=acosxsin^(a-1)xdx$
$ \int_0^pi (senx)/(sqrt(t)(t-1)) dt$
il problema è che non riesco a sostituire $senx$
Nel caso in cui $a$ sia uguale a 1 so che l integrale indefinito vale $ \int cosx/sqrt(1+sen^ax)=2sqrt(1+senx)$
quindi $ \int_0^pi cosx/sqrt(1+sen^ax)= 2sqrt(1+sen0)-2sqrt(1+sen(pi))=0$
$ \int_0^pi cosx/sqrt(1+sen^ax)$
sostituisco $t=1+sen^ax$ e $dt=acosxsin^(a-1)xdx$
$ \int_0^pi (senx)/(sqrt(t)(t-1)) dt$
il problema è che non riesco a sostituire $senx$
Nel caso in cui $a$ sia uguale a 1 so che l integrale indefinito vale $ \int cosx/sqrt(1+sen^ax)=2sqrt(1+senx)$
quindi $ \int_0^pi cosx/sqrt(1+sen^ax)= 2sqrt(1+sen0)-2sqrt(1+sen(pi))=0$
Non tentare di trovare primitive che è una perdita di tempo, poiché con la sostituzione $t=\sin(x)$ si ha $\int \frac{1}{\sqrt{1+t^{\alpha}}$ che è un integrale decisamente difficile per un esame di analisi 1...
Ti basta spezzare l'integrale in due:
$$\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx+\int_{\pi/2}^{\pi} f(x)dx$$
Poiché $f(\pi-x)=-f(x)$ (verificalo) allora:
$$\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx-\int_{\pi/2}^{\pi} f(\pi-x)dx=>t=\pi-x=>\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx+\int_{\pi/2}^{0} f(t)dt=\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx-\int_{0}^{\pi/2} f(t)dt=0$$
Ti basta spezzare l'integrale in due:
$$\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx+\int_{\pi/2}^{\pi} f(x)dx$$
Poiché $f(\pi-x)=-f(x)$ (verificalo) allora:
$$\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx-\int_{\pi/2}^{\pi} f(\pi-x)dx=>t=\pi-x=>\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx+\int_{\pi/2}^{0} f(t)dt=\int_{0}^{\pi/2} f(x)dx-\int_{0}^{\pi/2} f(t)dt=0$$
ok, proverò cosi
Ho scordato di chiederti se poi hai capito perché i due enunciati di Bolzano-Weierstrass sono equivalenti
Sinceramente no,
sono partito dall enunciato: per ogni successione limitata esiste.... ecc
e l ho dimostrato utilizzando i punti medi. Per quello che mi hai detto tu, non so come iniziare
sono partito dall enunciato: per ogni successione limitata esiste.... ecc
e l ho dimostrato utilizzando i punti medi. Per quello che mi hai detto tu, non so come iniziare
un altra cosa visto che ci siamo ahah (se riesco a passare l esame è merito tuo!!)
è corretto utilizzare questo metodo senza sapere a priori se gli integrali convergono?
Potrei trovare una forma di indecisione $infty-infty$.
è corretto utilizzare questo metodo senza sapere a priori se gli integrali convergono?
Potrei trovare una forma di indecisione $infty-infty$.
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