Integrale con metodo dei residui
salve a tutti ho un piccolo dubbio su un integrale di analisi complessa e gradirei qualche suggerimento
l'integrale in questione è del tipo
$\int_{0}^{oo} sqrt(x)/(x^2+1) dx$
come tratto la polidromia della funzione $sqrt(x)$?
ho provato a fare così ma sbaglio qualcosa
associo alla funzione f(x) la funzione complessa f(z) a questo punto so che la funzione ha 2 punti singolari per $\pm i$ quindi devo scegliere un percorso di integrazione che non contenga i due punti singolari. Dato che la funzione non è pari non posso usare $\int_{-oo}^{oo} f(x) dx = 2 \int_{0}^{oo} f(x) dx $ quindi uso il percorso $\gamma = \gamma_1 uu \gamma_2 uu\gamma_3$ fissato $R>1$
con
$\gamma_1 = R*e^(i*t)$ , $t in [0,pi/2]$
$\gamma_2 = -i(R-t)$ , $t in [0,R]$
$\gamma_3= t$ , $t in [0,R]$
$\gamma$ viene percorso in senso antiorario e l'unico punto singolare all'interno del circuito è il punto $i$ quindi calcolo il residuo in questo punto.
Il polo è del primo ordine quindi
$Res(f,i) = lim_(z->i) f(z)(z-i) = sqrt(i)/(2*i)
a questo punto secondo il teorema dei residui $\int_{\gamma} f(z)dz =2*pi*i*Res(f,i) = pi *sqrt(i)$
per il teorema di Jordan $\int_{\gamma_1} f(z) dz = 0$ in quanto $lim_{z->oo} f(z) =0$
quindi se dimostro che $lim_{R->oo} \int_{\gamma_2} f(z) dz = \int_{o}^{R} f(z) \gamma' dz = 0$
dovrei ottenere il risultato del mio integrale.
Qualcuno sa dirmi se sbaglio e dove sbaglio?
grazie in anticipo
l'integrale in questione è del tipo
$\int_{0}^{oo} sqrt(x)/(x^2+1) dx$
come tratto la polidromia della funzione $sqrt(x)$?
ho provato a fare così ma sbaglio qualcosa
associo alla funzione f(x) la funzione complessa f(z) a questo punto so che la funzione ha 2 punti singolari per $\pm i$ quindi devo scegliere un percorso di integrazione che non contenga i due punti singolari. Dato che la funzione non è pari non posso usare $\int_{-oo}^{oo} f(x) dx = 2 \int_{0}^{oo} f(x) dx $ quindi uso il percorso $\gamma = \gamma_1 uu \gamma_2 uu\gamma_3$ fissato $R>1$
con
$\gamma_1 = R*e^(i*t)$ , $t in [0,pi/2]$
$\gamma_2 = -i(R-t)$ , $t in [0,R]$
$\gamma_3= t$ , $t in [0,R]$
$\gamma$ viene percorso in senso antiorario e l'unico punto singolare all'interno del circuito è il punto $i$ quindi calcolo il residuo in questo punto.
Il polo è del primo ordine quindi
$Res(f,i) = lim_(z->i) f(z)(z-i) = sqrt(i)/(2*i)
a questo punto secondo il teorema dei residui $\int_{\gamma} f(z)dz =2*pi*i*Res(f,i) = pi *sqrt(i)$
per il teorema di Jordan $\int_{\gamma_1} f(z) dz = 0$ in quanto $lim_{z->oo} f(z) =0$
quindi se dimostro che $lim_{R->oo} \int_{\gamma_2} f(z) dz = \int_{o}^{R} f(z) \gamma' dz = 0$
dovrei ottenere il risultato del mio integrale.
Qualcuno sa dirmi se sbaglio e dove sbaglio?
grazie in anticipo
Risposte
[mod="dissonance"]Non qui. Vai nella sezione di Analisi matematica. Sposto.[/mod]
chiedo scusa la prossima volta posterò nella sezione adatta
Di modi per svolgere quell'integrale se ne possono trovare diversi.
Uno abbastanza elementare è fare dapprima la sostituzione [tex]$t=\sqrt{x}$[/tex], che riconduce l'integrale assegnato a quello più semplice [tex]\int_0^{+\infty} \frac{2t^2}{t^4+1}\ \text{d} t =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^2}{t^4+1}\ \text{d} t[/tex], e poi usare il teorema dei residui ed un lemma di Jordan per calcolare l'ultimo integrale.
Uno abbastanza elementare è fare dapprima la sostituzione [tex]$t=\sqrt{x}$[/tex], che riconduce l'integrale assegnato a quello più semplice [tex]\int_0^{+\infty} \frac{2t^2}{t^4+1}\ \text{d} t =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^2}{t^4+1}\ \text{d} t[/tex], e poi usare il teorema dei residui ed un lemma di Jordan per calcolare l'ultimo integrale.
quello della sostituzione è un metodo conveniente?
A dire la verità ci avevo pensato anche io ma mi lasciava perplesso il fatto di aumentare le radici del polinomio e di conseguenza avere numeri un po' più complessi da maneggiare visto che per quanto mi riguarda trattare con $\pm i$ è decisamente più agevole che trattare con $\pm sqrt2 (i \pm 1)$ visto che sono avezzo a compiere errori di calcolo.
Ho visto che per trattare la polidromia del logaritmo si sceglie una determinazione e si fa in modo di escludere quella direzione dal circuito su cui si integra. esiste un metodo del genere e soprattutto utilizzare un metodo più elegante complica troppo la soluzione dell'esercizio?
chiedo scusa in per le troppe domande ma mi piacerebbe veramente capire
A dire la verità ci avevo pensato anche io ma mi lasciava perplesso il fatto di aumentare le radici del polinomio e di conseguenza avere numeri un po' più complessi da maneggiare visto che per quanto mi riguarda trattare con $\pm i$ è decisamente più agevole che trattare con $\pm sqrt2 (i \pm 1)$ visto che sono avezzo a compiere errori di calcolo.
Ho visto che per trattare la polidromia del logaritmo si sceglie una determinazione e si fa in modo di escludere quella direzione dal circuito su cui si integra. esiste un metodo del genere e soprattutto utilizzare un metodo più elegante complica troppo la soluzione dell'esercizio?
chiedo scusa in per le troppe domande ma mi piacerebbe veramente capire
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