Integrale con metodo dei residui
Buongiorno a tutti,
Sono alle prese con un integrale di funzioni trigonometriche da risolvere con il teorema dei residui. Sono arrivato ad un risultato, ma non mi trovo con il risultato che mi da la calcolatrice. Vi riporto il testo e lo svolgimento:
\[ \int_0^{2\pi} \frac{9sen(x)}{10-6sen(x)} \text{d} x \]
Ho sostituito \( z=e^{ix} \) , utilizzato la formula di Eulero per il seno, calcolato il differenziale e modificato gli estremi di integrazione, indicando con $\Gamma$ la circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Sono arrivato al seguente integrale
\[ \frac{9}{2i} \int_{+\Gamma} \frac{1-z^2}{z(z-\frac{i}{3})(z-3i)} \text{d} z \]
Ho quindi calcolato i residui nei punti $z=0$ e $z=\frac{i}{3}$ sommati e moltiplicati per $9\pi$ e mi trovo $9/4\pi$ mentre la calcolatrice mi da $3/4\pi$
Dove ho sbagliato?
P.S.: mi scuso per la lunghezza del post, ma ho lo scritto martedì prossimo e sono un po' in ansia (:
Sono alle prese con un integrale di funzioni trigonometriche da risolvere con il teorema dei residui. Sono arrivato ad un risultato, ma non mi trovo con il risultato che mi da la calcolatrice. Vi riporto il testo e lo svolgimento:
\[ \int_0^{2\pi} \frac{9sen(x)}{10-6sen(x)} \text{d} x \]
Ho sostituito \( z=e^{ix} \) , utilizzato la formula di Eulero per il seno, calcolato il differenziale e modificato gli estremi di integrazione, indicando con $\Gamma$ la circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Sono arrivato al seguente integrale
\[ \frac{9}{2i} \int_{+\Gamma} \frac{1-z^2}{z(z-\frac{i}{3})(z-3i)} \text{d} z \]
Ho quindi calcolato i residui nei punti $z=0$ e $z=\frac{i}{3}$ sommati e moltiplicati per $9\pi$ e mi trovo $9/4\pi$ mentre la calcolatrice mi da $3/4\pi$
Dove ho sbagliato?
P.S.: mi scuso per la lunghezza del post, ma ho lo scritto martedì prossimo e sono un po' in ansia (:
Risposte
Forse hai sbagliato qualcosa nel fattorizzare il denominatore.
Provo a scrivere qualche passaggio intermedio, che ho dei dubbi sulla scomposizione del polinomio di secondo grado.
\[ \int_{+\Gamma} \frac{9\frac{z^2-1}{2zi}}{10-6\frac{z^2-1}{2zi}}\frac{1}{zi} \text{d}z \]
\[ \frac{9}{2i} \int_{+\Gamma} \frac{z^2-1}{z(10zi-3z^2+3)}\text{d}z \]
Ho poi cambiato i segni a numeratore e denominatore e fattorizzato il polinomio di secondo grado con le sue radici $z=\frac{i}{3}$ e $z=3i$. Sono quindi arrivato all'espressione che vi scrivevo prima. Ho sbagliato qualche calcolo?
Vi ringrazio per l'aiuto (:
\[ \int_{+\Gamma} \frac{9\frac{z^2-1}{2zi}}{10-6\frac{z^2-1}{2zi}}\frac{1}{zi} \text{d}z \]
\[ \frac{9}{2i} \int_{+\Gamma} \frac{z^2-1}{z(10zi-3z^2+3)}\text{d}z \]
Ho poi cambiato i segni a numeratore e denominatore e fattorizzato il polinomio di secondo grado con le sue radici $z=\frac{i}{3}$ e $z=3i$. Sono quindi arrivato all'espressione che vi scrivevo prima. Ho sbagliato qualche calcolo?
Vi ringrazio per l'aiuto (:
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