Integrale con metodo dei residui
dovrei risolvere questo integrale col metodo dei residui: $\int_{-\infty}^{\infty} dx/(x^6+64) $
io ho fatto cosi:
ho prolungato in $\CC$ la funzione, vedo che ci sono 6 poli semplici e li calcolo risolvendo $z^6=-64$
$z_k=2*(cos(pi/6+(kpi)/3)+isin(pi/6+(kpi)/3))$ con $k=0,1,2,3,4,5$
ora sapendo che sono tutti poli semplici calcolo i residui come
$res(f,z_k)=\lim_{z \to z_k} (z-z_k)*(1/((z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_4)(z-z_5)))$
e calcolo l'integrale come $2pii*\sumres(f,z_k)$
farlo in questo modo però è abbastanza lungo quindi ho pensato di risolverlo applicando la proprietà secondo cui
$\sumres(f,z_k)=-res(f,\infty)$ e $res(f,\infty)=-res(1/z^2*f(1/z),0)$ che però mi risulta nullo mentre usando il metodo di prima dovrebbe risultare $pi/48$
intanto chiedo se il metodo che usato è giusto e poi dove sbaglio nel calcolo del residuo all'infinito
io ho fatto cosi:
ho prolungato in $\CC$ la funzione, vedo che ci sono 6 poli semplici e li calcolo risolvendo $z^6=-64$
$z_k=2*(cos(pi/6+(kpi)/3)+isin(pi/6+(kpi)/3))$ con $k=0,1,2,3,4,5$
ora sapendo che sono tutti poli semplici calcolo i residui come
$res(f,z_k)=\lim_{z \to z_k} (z-z_k)*(1/((z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_4)(z-z_5)))$
e calcolo l'integrale come $2pii*\sumres(f,z_k)$
farlo in questo modo però è abbastanza lungo quindi ho pensato di risolverlo applicando la proprietà secondo cui
$\sumres(f,z_k)=-res(f,\infty)$ e $res(f,\infty)=-res(1/z^2*f(1/z),0)$ che però mi risulta nullo mentre usando il metodo di prima dovrebbe risultare $pi/48$
intanto chiedo se il metodo che usato è giusto e poi dove sbaglio nel calcolo del residuo all'infinito
Risposte
Ciao!
Che lemma stai utilizzando per risolvere questo integrale ? Sotto quali condizioni? Qual' è il cammino di integrazione ?
Una volta passato nel campo complesso,
ti ritrovi nelle condizioni in cui può applicare il lemma di Jordan,
dato che la tua $f(z)=O(1/z^6)$
Chiaramente sotto questi condizioni il residuo all'infinito è nullo.
Puoi inoltre chiudere il cammino di integrazione sia nel piano superiore che in quello inferiore,
nel tuo caso le scelte sono equivalenti.
Ora passi al calcolo dei residui, non tutti ,
solo quelli che ricadono dentro il cammino che hai scelto, sopra o sotto per capirci.
Che lemma stai utilizzando per risolvere questo integrale ? Sotto quali condizioni? Qual' è il cammino di integrazione ?
Una volta passato nel campo complesso,
ti ritrovi nelle condizioni in cui può applicare il lemma di Jordan,
dato che la tua $f(z)=O(1/z^6)$
Chiaramente sotto questi condizioni il residuo all'infinito è nullo.
Puoi inoltre chiudere il cammino di integrazione sia nel piano superiore che in quello inferiore,
nel tuo caso le scelte sono equivalenti.
Ora passi al calcolo dei residui, non tutti ,
solo quelli che ricadono dentro il cammino che hai scelto, sopra o sotto per capirci.
Integro la perfetta risposta precedente aggiungendo che quando si deve estendere l'integrale al campo complesso bisogna prima di tutto costruirsi un cammino chiuso nel piano complesso che contenga come sua parte il dominio dell'asse reale dove bisogna effettuare l'integrazione... Non bisonga partire subito con i residui, i residui sono solo un modo semplice per calcolare integrali su curve nel campo complesso senza effettuare esplicitamente l'integrazione !! 
Ultima cosa: ripetiti bene le condizioni necessarie per applicare il lemma di Jordan, che mi ricordo benissimo che le prime volte lo applicavo "ad minchiam" senza pormi il problema di come andasse all'infinito la funzione integranda !!
Ultima cosa: ripetiti bene le condizioni necessarie per applicare il lemma di Jordan, che mi ricordo benissimo che le prime volte lo applicavo "ad minchiam" senza pormi il problema di come andasse all'infinito la funzione integranda !!
"fisicarlo":
Ultima cosa: ripetiti bene le condizioni necessarie per applicare il lemma di Jordan, che mi ricordo benissimo che le prime volte lo applicavo "ad minchiam" senza pormi il problema di come andasse all'infinito la funzione integranda !!
[ot]Detto tra noi, le poche volte che mi capita di calcolare integrali con i residui, pure io faccio i conti ad minchiam. Tanto ormai l'esame l'ho fatto, chi mi viene a controllare più!
Se però uno volesse essere rigoroso, invece di ricordarsi le ipotesi del lemma di Jordan (io me le scordo sempre, se mai le ho ricordate), meglio dimostrare direttamente che l'integrale sul "grande cerchio" tende a zero. Alla fine non sono conti difficili, di solito, e comunque non sono più difficili che la verifica delle ipotesi del lemma. Il libro di analisi complessa di Serge Lang consiglia di fare così, infatti, il lemma di Jordan non lo menziona proprio.[/ot]
"dissonance":
[quote="fisicarlo"]
Ultima cosa: ripetiti bene le condizioni necessarie per applicare il lemma di Jordan, che mi ricordo benissimo che le prime volte lo applicavo "ad minchiam" senza pormi il problema di come andasse all'infinito la funzione integranda !!
[ot]Detto tra noi, le poche volte che mi capita di calcolare integrali con i residui, pure io faccio i conti ad minchiam. Tanto ormai l'esame l'ho fatto, chi mi viene a controllare più!
Se però uno volesse essere rigoroso, invece di ricordarsi le ipotesi del lemma di Jordan (io me le scordo sempre, se mai le ho ricordate), meglio dimostrare direttamente che l'integrale sul "grande cerchio" tende a zero. Alla fine non sono conti difficili, di solito, e comunque non sono più difficili che la verifica delle ipotesi del lemma. Il libro di analisi complessa di Serge Lang consiglia di fare così, infatti, il lemma di Jordan non lo menziona proprio.[/ot][/quote]
Io però una volta mi sono trovato con un integrale che non era affatto banale da calcolare sulla semicirconferenza, mentre in quel caso si verificava subito che l'integrando era maggiorato da una funzione che andava a zero per R->oo, quindi proprio inutile inutile il lemma di Jordan non è !!
P.S.: mi controlli che non abbia scritto boiate nell'altra mia risposta ??
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