Integrale con metodo dei residui

[djanthony931]

Ciao a tutti, sto avendo difficoltà nel risolvere il seguente integrale con il metodo dei residui:

\(\displaystyle \int_ {+\delta D }^{ } \frac{ze^{z-1}-z^2}{(z^2-1)^2(1-cos^2z)cos(\frac{\pi}{2}z)} dz \)

\(\displaystyle D = {{z \in \mathbb{C} : |z-1| < \frac{3}{2}} } \)

Ho trovato i seguenti residui:

1) z= +/- 1 poli doppi
2) z= +/- 2kpi
3) z= 4k

Il -1 lo escludo in quanto non rientra nel dominio. Se pongo k=0 il polo z=0 figura tre volte, ma siccome è uno zero anche per il numeratore ed è un polo del primo ordine la definizione di polo non può essere applicata, quindi non lo considero. Infine, poichè z=1 è uno zero per il numeratore ed è un polo di ordine 2, per l'identificazione dei poli questo è un polo semplice, quindi per risolvere l'integrale è uguale a:

\(\displaystyle 2 \pi i [\frac{Res(f, 1)}{z - 1} ] \)

E' giusto come ragionamento?

[gordnbrn]

Quando $z->0$:

$N(z)=ze^(z-1)-z^2=1/ez+o(z)$

$D(z)=(z^2-1)^2(1-cos^2z)cos(pi/2z)=z^2+o(z^2)$

Quindi, $z=0$ è un polo di ordine $1$ con residuo $1/e$.

[djanthony931]

Per gli altri poli il ragionamento è giusto?