Integrale con Jordan
Risolvere:
$int_(-infty)^(+infty)e^(-iomegax)/(1+x^3)dx$
$int_(-infty)^(+infty)e^(-iomegax)/(1+x^3)dx$
Risposte
La funzione integranda ha tre poli, tutti semplici:
$z_1 = -1$
$z_2 = (1+jsqrt(3))/2$
$z_3 = (1-jsqrt(3))/2$
Distinguiamo ora due casi:
1) $omega < 0$
Dal lemma di Jordan, l'integrale è pari a $2pijR[z_2] + pijR[z_1]$
2) $omega > 0$
Con una semplice modifica, si ha che l'integrale è pari a $-2pijR[z_3] - pijR[z_1]$
$z_1 = -1$
$z_2 = (1+jsqrt(3))/2$
$z_3 = (1-jsqrt(3))/2$
Distinguiamo ora due casi:
1) $omega < 0$
Dal lemma di Jordan, l'integrale è pari a $2pijR[z_2] + pijR[z_1]$
2) $omega > 0$
Con una semplice modifica, si ha che l'integrale è pari a $-2pijR[z_3] - pijR[z_1]$
"Kroldar":
La funzione integranda ha tre poli, tutti semplici:
$z_1 = -1$
$z_2 = (1+jsqrt(3))/2$
$z_3 = (1-jsqrt(3))/2$
Distinguiamo ora due casi:
1) $omega < 0$
Dal lemma di Jordan, l'integrale è pari a $2pijR[z_1] + pijR[z_2]$
2) $omega > 0$
Con una semplice modifica, si ha che l'integrale è pari a $-2pijR[z_1] - pijR[z_3]$
grazie.
Una domanda:$signx=2H(t)-1$?
L'incognita è $x$ o $t$? Chi è $H$?
"Kroldar":
L'incognita è $x$ o $t$? Chi è $H$?
$signx$ è la funzione signum,$H(t)=u(t)
Esatto, possiamo scrivere la funzione segno come
$sgn(t) = 2u(t) - 1$
da cui giusto per completezza
$F[sgn(t)] = F[2u(t) - 1] = v.p. 2/(jomega)$
$sgn(t) = 2u(t) - 1$
da cui giusto per completezza
$F[sgn(t)] = F[2u(t) - 1] = v.p. 2/(jomega)$
"Kroldar":
Esatto, possiamo scrivere la funzione segno come
$sgn(t) = 2u(t) - 1$
da cui giusto per completezza
$F[sgn(t)] = F[2u(t) - 1] = v.p. 2/(jomega)$
Purtroppo,sostituendo tale valore,non mi risulta la seguente equazione:$y^('')+y^{\prime}=signx+2delta(x)$,il cui risultato dovrebbe essere $|x|$;
potresti dirmi anche come potrei fare a dimostrare che $Sigma_(k=-infty)^(+infty)senkdelta(t-k)$ è convergente nello spazio delle distribuzioni temperate?
Scusa ma quell'equazione differenziale da dove è uscita?
"Kroldar":
Scusa ma quell'equazione differenziale da dove è uscita?
è uscita a proposito di $signumx$,che ho trovato proprio in quell'equazione.
Per quanto detto sopra,si può affermare che $ccF[1/(1+t^3)]=2pijR[z_2] + pijR[z_1]-2pijR[z_3] - pijR[z_1]$?
"Ainéias":
è uscita a proposito di $signumx$,che ho trovato proprio in quell'equazione.
Quell'equazione è giusta, infatti la derivata prima di $|t|$ è $sgn(t)$ e la derivata seconda è $2delta(t)$.
"Ainéias":
Per quanto detto sopra,si può affermare che $ccF[1/(1+t^3)]=2pijR[z_2] + pijR[z_1]-2pijR[z_3] - pijR[z_1]$?
Non esattamente, bisogna distinguere i due casi... per $omega>0$ succede una cosa e per $omega<0$ ne succede un'altra.
Se provi a calcolare quei residui però, magari riesci a trovare un'espressione comune... io non ho svolto calcoli, ho scritto solo il procedimento.
"Kroldar":
[quote="Ainéias"]
Per quanto detto sopra,si può affermare che $ccF[1/(1+t^3)]=2pijR[z_2] + pijR[z_1]-2pijR[z_3] - pijR[z_1]$?
Non esattamente, bisogna distinguere i due casi... per $omega>0$ succede una cosa e per $omega<0$ ne succede un'altra.
Se provi a calcolare quei residui però, magari riesci a trovare un'espressione comune... io non ho svolto calcoli, ho scritto solo il procedimento.[/quote]
Pero posso dire che $ccF[1/(1+t^3)]=2pijR[z_2] + pijR[z_1]$ se $omega<0$ e $ccF[1/(1+t^3)]=-2pijR[z_3] - pijR[z_1]$ se $omega >0$?
"Ainéias":
Pero posso dire che $ccF[1/(1+t^3)]=2pijR[z_2] + pijR[z_1]$ se $omega<0$ e $ccF[1/(1+t^3)]=-2pijR[z_3] - pijR[z_1]$ se $omega >0$?
Esattamente
"Kroldar":
La funzione integranda ha tre poli, tutti semplici:
$z_1 = -1$
$z_2 = (1+jsqrt(3))/2$
$z_3 = (1-jsqrt(3))/2$
Distinguiamo ora due casi:
1) $omega < 0$
Dal lemma di Jordan, l'integrale è pari a $2pijR[z_2] + pijR[z_1]$
2) $omega > 0$
Con una semplice modifica, si ha che l'integrale è pari a $-2pijR[z_3] - pijR[z_1]$
Come mai il contributo di $R[z_1]$ è metà rispetto agli altri due?perchè è reale forse?
Per quanto riguarda il treno di impulsi, magari volevi intendere una somma finita e mostrare che se si rende infinita la somma si ha una distribuzione temperata?
"Ainéias":
Come mai il contributo di $R[z_1]$ è metà rispetto agli altri due?perchè è reale forse?
Certo, conseguenza del lemma del piccolo cerchio.
"Kroldar":
Per quanto riguarda il treno di impulsi, magari volevi intendere una somma finita e mostrare che se si rende infinita la somma si ha una distribuzione temperata?
Il testo chiede di provare che $Sigma_(k=-infty)^(+infty)senkdelta(t-k)$ è convergente nello spazio delle distribuzioni temperate.
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