Integrale con infinitesimi di ordine superiore??
Buongiorno,
il differenziale di una funzione è dato da $dy = f'(x)dx$ a meno di infinitesimi di ordine superiore, e per integrazione posso ottenere che $\int_{y_0}^{y} dy = \int_{x_0}^{x}f'(x)dx$. Se adesso io volessi scrivere il $dy$ con un approssimazione ad un infinitesimo superiore, cioè da Taylor $dy = (f(x)')dx + (f(x)'')/2(dx)^2$ e volessi fare l'integrale, come dovrei fare? Ha senso fare una cosa di questo tipo?
Grazie
il differenziale di una funzione è dato da $dy = f'(x)dx$ a meno di infinitesimi di ordine superiore, e per integrazione posso ottenere che $\int_{y_0}^{y} dy = \int_{x_0}^{x}f'(x)dx$. Se adesso io volessi scrivere il $dy$ con un approssimazione ad un infinitesimo superiore, cioè da Taylor $dy = (f(x)')dx + (f(x)'')/2(dx)^2$ e volessi fare l'integrale, come dovrei fare? Ha senso fare una cosa di questo tipo?
Grazie
Risposte
"RuCoLa":
il differenziale di una funzione è dato da $dy = f'(x)dx$ a meno di infinitesimi di ordine superiore
Non sono d'accordo, quello è esattamente il differenziale, non c'è nessun termine di ordine superiore. I termini di ordine superiore appaiono nello sviluppo di Taylor di \(f\), non qui.
La funzione $f(x)$ può essere scritta come $f(x) = f(x_0) + c(x-x_0) + o(x-x_0) -> f(x)-f(x_0) = df = c(x-x_0) + o(x-x_0) $ dove $c$ è la derivata di $f$ in $x_0$. Quindi $df = f' dx + o(dx)$, sbaglio?
Si. Con $df$ di solito si intende il differenziale, che è una certa cosa. Tu invece stai parlando di \(f(x)-f(x_0)\), che nella notazione classica si scrive \(\Delta f(x)\). Quello è un incremento finito, non è un differenziale, non hai mai fatto un passaggio al limite.
Con \(\Delta f\) non c'è nessun teorema di integrazione, hai dei teoremi corrispondenti per le somme finite:
https://www.cs.purdue.edu/homes/dgleich ... lculus.pdf
(sezione 3- quello che tu chiami "differenziale" si chiama "derivata discreta" nel pdf)
Con \(\Delta f\) non c'è nessun teorema di integrazione, hai dei teoremi corrispondenti per le somme finite:
https://www.cs.purdue.edu/homes/dgleich ... lculus.pdf
(sezione 3- quello che tu chiami "differenziale" si chiama "derivata discreta" nel pdf)
Ma se ho che $\Delta f(x) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) =f'(x_0)\Delta x + (f''(x_0))/2(\Deltax)^2 + o(\Delta x)^2 $ ed effettuo il passaggio al limite l'uguaglianza rimane ancora valida giusto? Non capisco perchè dovrebbe rimanere solo il termine $f'dx$ e non anche tutti gli altri quando passo al limite.
Cosa studi? Da questa risposta dipende il livello di formalismo matematico per rispondere alla tua domanda.
(In ogni caso, per definizione, $df$ contiene solo il primo ordine dell'approssimazione.)
(In ogni caso, per definizione, $df$ contiene solo il primo ordine dell'approssimazione.)
Ingegneria elettronica. Ti sarei veramente grato se potessi spiegarmi perché approssimazioni di ordine superiore scompaiono. Grazie mille.
Il fatto è che \(df\) è l'approssimazione al primo ordine "per definizione". Quindi non è che gli ordini superiori scompaiono, lo decidiamo noi, li tronchiamo. **Miracolosamente**, questo è sufficiente ad ottenere il teorema fondamentale del calcolo integrale. Se ci pensi un attimo chi ha inventato queste cose ha fatto un lavoro meraviglioso. Non è affatto ovvio che l'approssimazione al primo ordine sia sufficiente a ricostruire una funzione integrando.
(Se ti piace la matematica, puoi vedere \(df\) come un funzionale lineare, come si fa in analisi funzionale e geometria differenziale. E lì è proprio basilare il fatto che \(df\) contiene solo il primo ordine dell'approssimazione, lo vedi già nella definizione: "funzionale *lineare*". )
(Se ti piace la matematica, puoi vedere \(df\) come un funzionale lineare, come si fa in analisi funzionale e geometria differenziale. E lì è proprio basilare il fatto che \(df\) contiene solo il primo ordine dell'approssimazione, lo vedi già nella definizione: "funzionale *lineare*". )
Grazie mille, ora mi é più chiaro!
"dissonance":
Il fatto è che \(df\) è l'approssimazione al primo ordine "per definizione". Quindi non è che gli ordini superiori scompaiono, lo decidiamo noi, li tronchiamo. **Miracolosamente**, questo è sufficiente ad ottenere il teorema fondamentale del calcolo integrale. Se ci pensi un attimo chi ha inventato queste cose ha fatto un lavoro meraviglioso. Non è affatto ovvio che l'approssimazione al primo ordine sia sufficiente a ricostruire una funzione integrando.
(Se ti piace la matematica, puoi vedere \(df\) come un funzionale lineare, come si fa in analisi funzionale e geometria differenziale. E lì è proprio basilare il fatto che \(df\) contiene solo il primo ordine dell'approssimazione, lo vedi già nella definizione: "funzionale *lineare*". )
Quel "questo è sufficiente ad ottenere il teorema fondamentale del calcolo integrale" mi ha illuminato; perché mi è capitato di pensare più volte, senza indagare troppo a come sia possibile risalire a una funzione a partire "solo" dal differenziale.
@luke: Mi fa molto piacere. Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo