Integrale con il Teorema dei Residui
Dovrei calcolare il seguente integrale con il Teorema dei Residui
$int_0^(2pi) dx/sqrt(a-bcos^2x)$ con $a>b>0$
ho pensato di trasformarlo in un integrale complesso sul cerchio C di raggio unitario è centro nell'origine del piano complesso. Facendo il cambio di variabile $z=e^(ix)$ ho $dx=1/(iz) dz$ e sapendo che $cosx=(z+z')/2$ dopo un pò di passaggi ottengo
$int_0^(2pi) dx/sqrt(a-bcos^2x)=int_C (2dz)/sqrt(bz^4+(2b-4a)z^2+b)$
a questo punto per applicare il Teorema dei Residui dovrei trovare gli zeri di $bz^4+(2b-4a)z^2+b$ che si trovano dentro C, e calcolare i residui.
Qualcuno riescie ad aiutarmi, possibilmente spiegandomi i passaggi?
Grazie, a tutti!
$int_0^(2pi) dx/sqrt(a-bcos^2x)$ con $a>b>0$
ho pensato di trasformarlo in un integrale complesso sul cerchio C di raggio unitario è centro nell'origine del piano complesso. Facendo il cambio di variabile $z=e^(ix)$ ho $dx=1/(iz) dz$ e sapendo che $cosx=(z+z')/2$ dopo un pò di passaggi ottengo
$int_0^(2pi) dx/sqrt(a-bcos^2x)=int_C (2dz)/sqrt(bz^4+(2b-4a)z^2+b)$
a questo punto per applicare il Teorema dei Residui dovrei trovare gli zeri di $bz^4+(2b-4a)z^2+b$ che si trovano dentro C, e calcolare i residui.
Qualcuno riescie ad aiutarmi, possibilmente spiegandomi i passaggi?
Grazie, a tutti!
Risposte
Se Poniamo $a/b=k>1$,l'integrale diventa:
$2/sqrtb int_C dz/sqrt(z^4-2(2k-1)z^2+1)$
Gli zeri del radicando a denominatore sono :
$z_(1,2)=+-(sqrtk+sqrt(k-1))$ e
$z_(3,4)=+-(sqrtk-sqrt(k-1))$
di cui solo gli ultimi due sono interni al cerchio $|z|<=1$
ma essi non sono poli (di ordine intero) della funzione integranda
Probabilmente sbaglio ,ma l'integrazione attraverso questa via la vedo strana.
In genere questo tipo d'integrazione si usa quando la funzione integranda e'
della forma F(sinx,cosx) con F funzione razionale di seno e coseno e non mi pare
sia il nostro caso.
Archimede
$2/sqrtb int_C dz/sqrt(z^4-2(2k-1)z^2+1)$
Gli zeri del radicando a denominatore sono :
$z_(1,2)=+-(sqrtk+sqrt(k-1))$ e
$z_(3,4)=+-(sqrtk-sqrt(k-1))$
di cui solo gli ultimi due sono interni al cerchio $|z|<=1$
ma essi non sono poli (di ordine intero) della funzione integranda
Probabilmente sbaglio ,ma l'integrazione attraverso questa via la vedo strana.
In genere questo tipo d'integrazione si usa quando la funzione integranda e'
della forma F(sinx,cosx) con F funzione razionale di seno e coseno e non mi pare
sia il nostro caso.
Archimede
"archimede":
Se Poniamo $a/b=k>1$,l'integrale diventa:
$2/sqrtb int_C dz/sqrt(z^4-2(2k-1)z^2+1)$
Gli zeri del radicando a denominatore sono :
$z_(1,2)=+-(sqrtk+sqrt(k-1))$ e
$z_(3,4)=+-(sqrtk-sqrt(k-1))$
di cui solo gli ultimi due sono interni al cerchio $|z|<=1$
ma essi non sono poli (di ordine intero) della funzione integranda
Probabilmente sbaglio ,ma l'integrazione attraverso questa via la vedo strana.
In genere questo tipo d'integrazione si usa quando la funzione integranda e'
della forma F(sinx,cosx) con F funzione razionale di seno e coseno e non mi pare
sia il nostro caso.
Archimede
Allora come faccio a calcolare l'integrale?
Nulla è impossibile, finchè si ha il tempo di riflettere!
Archie
Archie
"archimede":
Nulla è impossibile, finchè si ha il tempo di riflettere!
Archie
ha,ha
.Ci penserò ancora un pò su...
Promemoria: cambiare la firma dei miei post
"carlo23":
[quote="archimede"]Nulla è impossibile, finchè si ha il tempo di riflettere!
Archie
ha,ha
.Ci penserò ancora un pò su...
Promemoria: cambiare la firma dei miei post[/quote]
Scherzi a parte, mi spieghi solo perchè quelli zeri non sono poli?
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