Integrale con i Residui

[lilfo]

Propongo il seguente esercizio:

$ int_(+delD )^() (z*sin(1/z)*cos(z/(z-1)))/(z-3)*dz $


Dove D è il rettangolo che ha vertici in -1-j, -1+j, 2+j, 2-j

C'è un polo semplice in z = 3 che cade però al di fuori di D e quindi non va considerato per il calcolo dell'integrale.
Abbiamo poi due singolarità essenziali in z = 0 e z = 1.

L'unica cosa che mi viene in mente è quella di calcolare i residui ad infinito e in 3 per poi ricavare la somma dei residui in 0 e 1 che moltiplicata per $ 2 pi j $ dovrebbe darmi il risultato dell'integrale.

E' giusto il ragionamento?
Se sì, come si calcolano questi residui?

A me viene che il residuo all'infinito è nullo e quello in 3 è $ 3*sin(1/3)*cos(1/2)
E' corretto?

[lilfo]

up

[djyoyo]

A noi al corso (che non è stato molto avanzato perchè era di pochi crediti) c' è stato detto di valutare integrali come questo solo nei punti $z=0 z=1$

In particolare per aiutarti nel calcolo puoi sostituire al $sin$ e $cos$ i loro sviluppi in serie di Laurent, però devi fare attenzione a dove le centri:
ad esempio in $z=0$ quella del sin va bene, ma per il $cos$ devi fare una sostituzione e sviluppare $cos((t+1)/t)$