Integrale con i residui
Buona Domenica a tutti....domani ho l'esame di metodi matematici per l'ingegneria e stavo svolgendo l'integrale di questa funzione
$(1-sinz)/((e^(2iz)+1)(2z-pi))$ sul rettangolo di vertici $-i$,$i$,$-i+2pi$,$i+2pi$
Ho trovato che $z=pi/2$ è una singolarità eliminabile (è giusto?) però non riesco a determinare l'altro zero del denominatore e capire che tipo di singolarità è?? Mi date un input??
Grazie mille
$(1-sinz)/((e^(2iz)+1)(2z-pi))$ sul rettangolo di vertici $-i$,$i$,$-i+2pi$,$i+2pi$
Ho trovato che $z=pi/2$ è una singolarità eliminabile (è giusto?) però non riesco a determinare l'altro zero del denominatore e capire che tipo di singolarità è?? Mi date un input??
Grazie mille
Risposte
Differenza di quadrati: [tex]$e^{2\jmath z}+1=(e^{\jmath z})^2-\jmath^2 =(e^{\jmath z}-\jmath)(e^{\jmath z}+\jmath)$[/tex]...
La singolarità in [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex] è effettivamente eliminabile (si può vedere facilmente con de l'Hopital, o con gli sviluppi in serie).
La singolarità in [tex]$\tfrac{\pi}{2}$[/tex] è effettivamente eliminabile (si può vedere facilmente con de l'Hopital, o con gli sviluppi in serie).
Era tanto sbagliato fare così:
Risolvo l'equazione complessa:
$e^(2iz)=-1$ se poni $w=2iz$ ottieni $e^w=-1$ che ha come soluzione $w_k=log(|-1|)+i*(arg(-1)+2kpi)=i*(3/2pi+2kpi)$.
Per ottenere lo zero che cerchiamo (ricordando che $w=2iz$) scrivo $z_k=w_k/(2i)=\frac{i*(3/2pi+2kpi)}{2i}=3/4pi+kpi$?
Risolvo l'equazione complessa:
$e^(2iz)=-1$ se poni $w=2iz$ ottieni $e^w=-1$ che ha come soluzione $w_k=log(|-1|)+i*(arg(-1)+2kpi)=i*(3/2pi+2kpi)$.
Per ottenere lo zero che cerchiamo (ricordando che $w=2iz$) scrivo $z_k=w_k/(2i)=\frac{i*(3/2pi+2kpi)}{2i}=3/4pi+kpi$?
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