Integrale con i residui
Salve ragazzi dovrei risolvere il seguente integrale con i residui, ho provato a risolverlo ma non sono sicuro che la soluzione sia quella giusta, per cui vorrei un vostro parere.
L'integrale è il seguente
$\oint \frac{cos \frac{\pi }{2} z}{(z-1)^3sin \pi z} $
dove $ \Gamma =Fr([-\frac{1}{2},\frac{3}{2}])x([-1,1])$
La prima cosa da fare è trovare i poli della funzione ed ottengo che
$ z=0 $ è un polo del primo ordine poichè $ sin \pi z=0 $ per $ z=k $ e prendo solo $ z=0 z=1$
mentre $z=1$ polo del terzo ordine, ottenuto dal fatto che $ z=1 $ per il denominatore è un polo del quarto ordine mentre per il numeratore uno zero del primo ordine
$ Rf(0)=-\frac{1}{\pi }$
$ Rf(1)=0$
e quindi l'integrale è uguale a $ 2\pi iRf(0)=-2i $
L'integrale è il seguente
$\oint \frac{cos \frac{\pi }{2} z}{(z-1)^3sin \pi z} $
dove $ \Gamma =Fr([-\frac{1}{2},\frac{3}{2}])x([-1,1])$
La prima cosa da fare è trovare i poli della funzione ed ottengo che
$ z=0 $ è un polo del primo ordine poichè $ sin \pi z=0 $ per $ z=k $ e prendo solo $ z=0 z=1$
mentre $z=1$ polo del terzo ordine, ottenuto dal fatto che $ z=1 $ per il denominatore è un polo del quarto ordine mentre per il numeratore uno zero del primo ordine
$ Rf(0)=-\frac{1}{\pi }$
$ Rf(1)=0$
e quindi l'integrale è uguale a $ 2\pi iRf(0)=-2i $
Risposte
Perché il residuo in \(z=1\) è zero?
Per calcolare il residuo devo risolvere
$Rf(1)= \frac{1}{2}\lim_{z->1}D''[\frac{(z-1)^3 cos(\frac{\pi z}{2})}{(z-1)^3sin \pi z}]= \frac{1}{2}\lim_{z->1}D''[\frac{ cos(\frac{\pi z}{2})}{sin \pi z}] $
$Rf(1)= \frac{1}{2}\lim_{z->1}D''[\frac{(z-1)^3 cos(\frac{\pi z}{2})}{(z-1)^3sin \pi z}]= \frac{1}{2}\lim_{z->1}D''[\frac{ cos(\frac{\pi z}{2})}{sin \pi z}] $
Esatto, ma non mi sembra faccia zero.
Potresti indicarmi come lo risolvi?
Utilizzando la formula di duplicazione \(\sin 2w = 2 \cos w \sin w\), si trova che\[g(z) = \frac{\cos \frac{\pi \, z}{2}}{\sin \pi z} = \frac{1}{2 \sin \frac{\pi \, z}{2}} \qquad \text{per } z \to 1,\, z \neq 1\]A questo punto, facilmente,\[R_f(1) = \frac{1}{2} \lim_{z \to 1} \,g''(z) = \frac{\pi^2}{16}\]
grazie mille elvis sei stato gentilissimo!!
elvis scusami se ti rompo ancora... mica potresti aiutarmi a risolvere anche questo integrale sempre con il metodo dei residui
$\int \frac{z^2}{z-i}cos\frac{1}{z-i} $
con $\Gamma $ la circonferenza di centro $ z= i $ e $ R=1 $
$\int \frac{z^2}{z-i}cos\frac{1}{z-i} $
con $\Gamma $ la circonferenza di centro $ z= i $ e $ R=1 $
Mi sembra che ciò di cui abbiamo bisogno sia il residuo in \(z = i\) della funzione \(f(z) = z^2 \, (z - i)^{-1} \cos (z - i)^{-1}\), cioè il coefficiente \(a_{-1}\) della serie di Laurent di \(f\): \[f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n(z-i)^n\]Due osservazioni per calcolare questa serie:
1. \(z^2 = -1 + 2i(z-i) + (z-i)^2\)
2. \(\cos w = 1 - w^2/2 + \cdots\)
1. \(z^2 = -1 + 2i(z-i) + (z-i)^2\)
2. \(\cos w = 1 - w^2/2 + \cdots\)
devo semplicemente sostituire è cercare il termine $ a_-1$???
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