Integrale con funzione razionale fratta

[stranamentemate]

$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{8-x^2}} dx$ pongo $x=sint$ e $dx=cost dt$
$\int_{}^{}\frac{cost}{\sqrt{8-sin^2t}}dt$ qui non so come procedere sempre che abbia fatto giusto

[stranamentemate]

allora pongo $x=\sqrt{8}sint$ e $dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{8}}sint+\sqrt{8}cost dt$

quindi

$\int_{}^{}\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{8}}\frac{sint+\sqrt{8}cost}{\sqrt{8+(\sqrt{8}sint)^2}}dt$

non riesco a raccogliere gli 8 sotto radice mi sfugge qualcosa

[stranamentemate]

$t=\frac{x}{\sqrt{8}},arcsin\frac{x}{\sqrt{8}}+C$ questa è la soluzione che trovo sul libro, che però è diversa dalla tua, qual è quella corretta? Con il suggerimento del libro non saprei come muovermi

[stranamentemate]

sorry intendevo la sostituzione $t=\frac{x}{\sqrt{8}}$ che appunto è diversa dalla tua e non sapendo gestire l'integrale sostituito non vado da nessuna parte

[stranamentemate]

rimango ferma qua:

\(t = \frac{x}{\sqrt{8}}\) quindi \(x = \sqrt{8}\,t\) e \(dx = \sqrt{8}\,dt\)

$\int \frac{1}{\sqrt{8-x^2}}dx=\int_{}^{}\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8-t^2}}dt$ come libero quell'8 dalla radice per poi passare a $\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$ ?

[stranamentemate]

$\int_{}^{}\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8-8t^2}}dt=\int_{}^{}\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}\sqrt{1-t^2}}dt=$
$ \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt = \arcsin t + c = \arcsin\frac{x}{\sqrt{8}} + c $

di certo ha avuto un buon intuito a risolvere con quella sostituzione, un giorno spero anch'io di avere un'occhio clinico come il vostro