Integrale con funzione integranda in 2 variabili

[Nexus991]

Calcolare il seguente integrale

$$F(t) = \int_{0}^{\infty} { \exp({-x^2 - t^2/x^2})} dx \hspace{10mm} t \in \mathbb{R}$$

Poi il testo dice anche:
Suggerimento: calcolare $F'(t)$ e determinare un'equazione differenziale lineare soddisfatta da $F(t)$

Io ho provato a sfruttare il suggerimento:

$$F'(t) = -2t\int_{0}^{\infty} { \exp({-x^2 - t^2/x^2}) \frac{1}{x^2}} dx $$

A questo punto non riesco a determinare questa equazione differenziale visto che quel $\frac{1}{x^2}$ mi da fastidio, qualcuno può illuminarmi?

[pilloeffe]

Ciao Nexus99,

Comincerei con l'osservare che per $ t = 0 $ si ha:

$ F(0) = \int_{0}^{+\infty} \exp(-x^2) \text{d}x = \sqrt{\pi}/2 $

Se invece $t \ne 0 $ si ha:

$ F(t) = \int_{0}^{+\infty} \exp(-x^2 - t^2/x^2) \text{d}x = \int_{0}^{+\infty} \exp[-(x - t/x)^2 - 2t] \text{d}x = $
$ = e^{- 2t} \int_{0}^{+\infty} \exp[-(x - t/x)^2] \text{d}x = . . . = \sqrt{\pi}/2 e^{- 2t} = F(0) e^{- 2t} $

Quindi $F'(t) = - \sqrt{\pi} e^{- 2t} = - 2 \sqrt{\pi}/2 e^{- 2t} = - 2 F(t) \implies F'(t) + 2 F(t) = 0 $