Integrale con funzione esponenziale

[Comeover]

$int (e^x*(e^(2x)+3))/((e^x-1)(e^(2x)+3))dx$

Mi direste come posso svolgere questo integrale senza "incartarmi" ho provato per sostituzione ma non arrivo a nulla

[bosmer-votailprof]

Come hai fatto ad incartarti?
Si fa per sostituzione in tre secondi...
Infatti $t=e^x$ quindi $dt=e^xdx$ che significa che $dx=\frac{dt}{t}$ e sostituiamo
$$
\int\frac{t(t^2+3)}{(t-1)(t^2+3)t}dt=\int\frac{1}{t-1}dt=\ln(t-1)=\ln(e^x-1)
$$
fine

[feddy]

Poni la sostituzione $e^x=t$, da cui si ha $dt=e^xdx$...

@Edit: Bossmer mi ha anticipato di brutto sorry per la ripetizione

[Comeover]

Scusate se vi rispondo solo ora. Innanzitutto grazie delle vostre gentili risposte, ma l'integrale cosi come l'ho scritto è errato in realtà era

$int (e^x*(2e^(2x)+3))/((e^x-1)(e^(2x)+3))dx$

[bosmer-votailprof]

Ma si è semplice uguale, con la stessa sostituzione che ti ho già detto ottieni:
\[ \int\frac{t(2t^2+3)}{(t-1)(t^2+3)t}dt=\int\frac{(2t^2+3)}{(t-1)(t^2+3)}dt=\int\frac{(2t^2+6)}{(t-1)(t^2+3)}-\frac{3}{(t-1)(t^2+3)}dt \]
il quale è uguale alla somma dei due integrali che con i relativi raccoglimenti diventano:
$$
2\int\frac{(t^2+3)}{(t-1)(t^2+3)}dt-3\int\frac{1}{(t-1)(t^2+3)}dt=\ln(e^x-1)-3\int\frac{1}{(t-1)(t^2+3)}dt
$$
Adesso il secondo è un integrale fratto e si risolve separando quella frazione nella somma di due frazioni, cioè dire che
$$
\frac{1}{(t-1)(t^2+3)}=\frac{p(t)}{t-1}+\frac{q(t)}{t^2+3}=\frac{p(t)(t^2+3)+q(t)(t-1)}{(t-1)(t^2+3)}
$$
Dove $p$ e $q$ sono due polinomi.
Quindi ci siamo ricondotti a dover risolvere l'equazione
$$
p(t)(t^2+3)+q(t)(t-1)=1
$$
Ora è chiaro che i due prodotti saranno a loro volta dei polinomi, e tali prodotti dovranno avere lo stesso grado altrimenti il termine $t$ non si eliminerà, e per semplicità vogliamo mantenere il grado basso, quindi il polinomio $p(t)$ lo vogliamo di grado $0$ in modo che una volta moltiplicato per il polinomio di grado $2$ otteniamo ancora un polinomio di grado $2$ mentre il polinomio $q$ lo vogliamo di grado $1$ , così una volta moltiplicato col polinomio di grado $1$ avremo un polinomio d grado $2$. Dunque dovremo imporre che :
$$
p(t)=A
\\
q(t)=Bt+C
$$
Sostituiamo ottenendo l'equazione
$$
A(t^2+3)+(Bt+C)(t-1)=1
$$
Moltiplicando e raccogliendo otteniamo:
$$
(A+B)t^2+(C-B)t+3A-C=1
$$
Adesso chiaramente i termini davanti alle $t$ devono essere nulli per verificare l'identità quindi otteniamo le condizioni:
$$
A=-B
\\
C=B
$$
che utilizziamo ottenendo:
$$
-3C-C=1
$$
quindi $C=-\frac{1}{4}$, quindi tornado all'equazione iniziale abbiamo che :
$$
\frac{1}{(t-1)(t^2+3)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{t-1}-\frac{t+1}{t^2+3}\right)
$$

Da qui in poi dovresti riuscire a cavartela, avrai altri due logaritmi ed un arcotangente, se ci fossero problemi chiedi