Integrale con esponenziali e radice

[Shocker1]

Buonasera


Mi sono bloccato su questo integrale: $int(e^-x sqrt(1+e^(-2x)))dx$. Ho provato ad integrale per sostituzione(ponendo una volta $t = sqrt(1+e^(-2x))$) e per parti, ma non sono riuscito a venirne fuori. Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.

Avete qualche suggerimento? Niente soluzioni, mi raccomando


Grazie per l'attenzione

[quantunquemente]

con $e^(-x)=t$ ti riconduci ad un integrale risolvibile con un'altra sostituzione

[Lo_zio_Tom]

Sost e (-x)=t e poi hai 2 alternative: si può fare per parti o sostituzione trigonometrica t= tan y

[Lo_zio_Tom]

Per parti lo puoi fare tranquillamente con mezzi da "liceo"....se utilizzi la sostituzione trigonometrica poi devi conoscere anche le formule di riduzione....altrimenti ti ritrovi a dover di nuovo integrare per parti un integrale non simpaticissimo.....aspettiamo tutti tue notizie.......

[Shocker1]

"tommik":Per parti lo puoi fare tranquillamente con mezzi da "liceo"....se utilizzi la sostituzione trigonometrica poi devi conoscere anche le formule di riduzione....altrimenti ti ritrovi a dover di nuovo integrare per parti un integrale non simpaticissimo.....aspettiamo tutti tue notizie.......

Ciao

Scusa se rispondo adesso ma sono stato impegnato con le olimpiadi(non c'era una linea di wifi in albergo, mi dispiace ) e sono tornato domenica

Sono riuscito a risolvere l'integrale sia per parti che per sostituzione:

per parti

$int e^(-x)sqrt(e^(-2x) + 1)dx = int e^(-2x sqrt(e^(2x) + 1) dx = -1/2 int -2*e^(-2x) * sqrt(e^(2x) + 1) dx$

Considero $f'(x) = -2e^(-2x)$ e $g(x) = sqrt(e^(2x) + 1)$
quindi:
$-1/2 int -2*e^(-2x) * sqrt(e^(2x) + 1) dx = -1/2*( e^(-2x) * sqrt(e^(2x) + 1) - int 1/sqrt(e^(2x) + 1)dx$
Sia $t = sqrt(e^(2x) + 1) => x = ln(t^2 - 1)/2 => dx = t/(t^2 - 1)dt$
quindi
$int 1/sqrt(e^(2x) + 1)dx = int tdt/(t(t^2 - 1)) = int 1/(t^2 - 1)dt = 1/2(int 1/(t-1) - 1/(t+1)) dt = ln|t-1|/2 - ln|t+1|/2 + c = ln(sqrt(e^(2x) + 1) - 1)/2 + ln(sqrt(e^(2x) + 1) + 1)/2 + c$
Dunque:
$-1/2*( e^(-2x) * sqrt(e^(2x) + 1) - int 1/sqrt(e^(2x) + 1)dx) = -1/2*( e^(-2x) * sqrt(e^(2x) + 1) -ln(sqrt(e^(2x) + 1) - 1)/2 + ln(sqrt(e^(2x) + 1) + 1)/2 + c) = -e^(-2x) * sqrt(e^(2x) + 1)/2 + ln(sqrt(e^(2x) + 1) - 1)/4 - ln(sqrt(e^(2x) + 1) + 1)/4 + c = -e^(-2x) * sqrt(e^(2x) + 1)/2 + ln(e^(2x)/(sqrt(e^(2x) + 1) + 1))/4 - ln(sqrt(e^(2x) + 1) + 1)/4 + c = -e^(-2x) * sqrt(e^(2x) + 1)/2 + 1/2x -1/2ln(sqrt(e^(2x) + 1) + 1) + c $

Per sostituzione:

Sia $t = e^-x => dt = -e^-xdx$:
$int e^(-x)sqrt(e^(-2x) + 1)dx = -int dqrt(1+t^2)dt$
sia $t = tg(\phi) => dt = 1 + tg^2(\phi)d(\phi)$
$int e^(-x)sqrt(e^(-2x) + 1)dx = -int sqrt(1+t^2)dt = -int (1+tg^2(\varphi))*sqrt(1+tg^2(\varphi)) d(\varphi)$
Si sa che: $sec^2(\varphi) = 1 + tg^2(\varphi)$
quindi:
$-int (1+tg^2(\varphi))*sqrt(1+tg^2(\varphi)) d\varphi = -int sec^3(\varphi) d\varphi$
Integro per parti: $f'(\varphi) = sec^2(\varphi) => f(\varphi) = tg(\varphi)$ e $g(\varphi) = sec(\varphi) => g'(\varphi) = tg(\varphi)sec(\varphi)$
Quindi si ha:
$-int sec^3(\varphi) d\varphi = -(sec(\varphi)tg(\varphi) - int sec(\varphi)tg^2(\varphi) d\varphi = sec(\varphi)tg(\varphi) - int sec(\varphi)(sec^2(\varphi) - 1)d\varphi =>
-int sec^3(\varphi) d\varphi = -sec(\varphi)tg(\varphi) + int sec^3(\varphi) d\varphi - int sec(\varphi) d\varphi =>
int sec^2(\varphi) d\varphi = -1/2sec(\varphi)tg(\varphi) - 1/2 int sec(\varphi) d\varphi = -1/2sec(\varphi)tg(\varphi) = -1/2sec(\varphi)tg(\varphi) - 1/2ln|sec(\varphi) + tg(\varphi)| + c$
Ricordo che: $tg(\varphi) = t$ e che $sec^2(\varphi) = tg^2(\varphi) + 1 => sec(\varphi) = sqrt(tg^2(\varphi) + 1)$
dunque:
$-1/2sec(\varphi)tg(\varphi) - 1/2ln|sec(\varphi) + tg(\varphi)| + c = -1/2t*sqrt(t^2 + 1) - 1/2(ln(sqrt(t^2 + 1)) + t) = -1/2t*sqrt(t^2 + 1) - 1/2ln(t) - 1/2ln(sqrt(t^2 +1)/t + 1) + c = 1/2e^-xsqrt(e^(-2x) + 1) + 1/2x - 1/2ln(sqrt(e^(-2x) + 1)/e^-x + 1) + c = 1/2e^-xsqrt(e^(-2x) + 1) + 1/2x - 1/2ln(sqrt(e^2x + 1) + 1) + c$

Dovrebbe essere tutto corretto

Esiste un metodo più breve?

Grazie ad entrambi per i suggerimenti