Integrale con esponenziale e f trigonometrica
mi sono trovato di fronte questa cosa:
[tex]\int_0^x\frac{\cos(e^{2\arctan(x)}}{1+x^{2}}e^{2arctan(x)} dx[/tex]
la prima cosa che mi viene in mente è la sostituzione di
[tex]t=e^{2arctan(x)}[/tex]
da cui ricavo
[tex]dx=\frac{2e^{2arctan(x)}}{1+x^{2}}[/tex]
[tex]x=\frac{tg(ln(t)}{2}[/tex]
sono sulla retta vio o ho sbagliato qualcosa(prima di andare avanti e incasinare le cose piu di quanto già lo siano)?
[tex]\int_0^x\frac{\cos(e^{2\arctan(x)}}{1+x^{2}}e^{2arctan(x)} dx[/tex]
la prima cosa che mi viene in mente è la sostituzione di
[tex]t=e^{2arctan(x)}[/tex]
da cui ricavo
[tex]dx=\frac{2e^{2arctan(x)}}{1+x^{2}}[/tex]
[tex]x=\frac{tg(ln(t)}{2}[/tex]
sono sulla retta vio o ho sbagliato qualcosa(prima di andare avanti e incasinare le cose piu di quanto già lo siano)?
Risposte
Prima di tutto ho bisogno un chiarimento.
A denominatore nell'integrale c'è $i+x^2$ o molto più probabilmente $1+x^2$?
A denominatore nell'integrale c'è $i+x^2$ o molto più probabilmente $1+x^2$?
"misanino":
A denominatore nell'integrale c'è $i+x^2$ o molto più probabilmente $1+x^2$?
Io credo proprio di sì... Ed in tal caso l'integrale è immediato.
sisi, scusate 1+x^2 
editato
editato
In tal caso l'integrale è immediato poichè ciò che sta sotto l'integrale non è altro che la derivata di $\frac{1}{2}sin(e^(2arctg x))$.
Infatti se indico con D la derivata ho:
$D(\frac{1}{2}sin(e^(2arctg x)))=\frac{1}{2}D(sin(e^(2arctg x)))=\frac{1}{2}cos(e^(2arctg x))D(e^(2arctg x))=\frac{1}{2}cos(e^(2arctg x))e^(2arctg x)D(2arctg x)=\frac{1}{2}cos(e^(2arctg x))e^(2arctg x)\frac{2}{1+x^2}=\frac{cos(e^(2arctg x))}{1+x^2}e^(2arctg x)$
Infatti se indico con D la derivata ho:
$D(\frac{1}{2}sin(e^(2arctg x)))=\frac{1}{2}D(sin(e^(2arctg x)))=\frac{1}{2}cos(e^(2arctg x))D(e^(2arctg x))=\frac{1}{2}cos(e^(2arctg x))e^(2arctg x)D(2arctg x)=\frac{1}{2}cos(e^(2arctg x))e^(2arctg x)\frac{2}{1+x^2}=\frac{cos(e^(2arctg x))}{1+x^2}e^(2arctg x)$
vero, e se non erro c'era una formula notevole per questo no?
Formula notevole?
Ma semplicemente se hai sotto l'integrale una derivata allora $\int D(f(x)) = f(x)$
cioè ad esmpio se hai sotto l'integrale $cos x$, dato che $cos(x)= D(sin(x))$ allora $\int cos(x)$=$\int D(sin(x))$=$sin(x)$.
E quindi nel tuo caso sei di fatto già arrivato alla soluzione
Ma semplicemente se hai sotto l'integrale una derivata allora $\int D(f(x)) = f(x)$
cioè ad esmpio se hai sotto l'integrale $cos x$, dato che $cos(x)= D(sin(x))$ allora $\int cos(x)$=$\int D(sin(x))$=$sin(x)$.
E quindi nel tuo caso sei di fatto già arrivato alla soluzione
beh oddio, arrivato alla soluzione non proprio! se non mi accorgessi che sotto l'integrale c'è una derivata, volendo continuare seguendo il metodo che ho scritto alll'inizio del post, era corretto o sbagliavo qualcosa?
Sei arrivato alla soluzione se ti accorgi che sotto l'integrale c'è una derivata!!!
Se non te ne accorgi puoi fare un milione di calcoli che può darsi ti portino alla soluzione come può darsi ti portino lontanissimo da essa.
Se non te ne accorgi puoi fare un milione di calcoli che può darsi ti portino alla soluzione come può darsi ti portino lontanissimo da essa.
bene, la cosa è molto confortante grazie comunque dell'aiuto
grazie comunque dell'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo