Integrale con esponenziale

[Light1992]

Salve a tutti ,
qualche giorno fa ho avuto un problema con un integrale.

$ int _ $ $ (e ^x)/( e ^x +1) dx $

ora io non ho avuto grandi problemi perchè ho semplicemente diviso numeratore e denominatore per $ e ^ x $ e trovato il risultato $ log ( e ^x + 1 ) $. Mi sono però chiesto cosa sarebbe successo se non mi fossi accorto di questo trucchetto da fare e ho provato con sostituzione $ e ^ x = t $

non capisco perché non viene

[minomic]

Ciao, in realtà non era nemmeno necessario dividere dato che questo integrale è riconducibile a uno immediato: \[\int{\frac{f'(x)}{f(x)}\ dx = \ln \left|f(x)\right| + C}\] In ogni caso poniamo \[t = e^x\]\[x = \ln t \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{dt}{t}\] Quindi l'integrale diventa \[
\int{\frac{t}{t+1}\frac{dt}{t}} = \int{\frac{1}{t+1}\ dt} = \ln \left(t+1\right) + C
\] da cui la soluzione.

[Light1992]

Grazie anzi scusa per la perdita di tempo , ho sbagliato a scrivere l' integrale , in realtà era questo

$ int _ $ $ (1)/( e ^x +1) dx $ quindi quando faccio sostituzione quell' $ 1 /t $ non si toglie

[minomic]

D'accordo, allora si procede sempre tramite sostituzione arrivando a \[
\int{\frac{1}{t+1}\frac{1}{t}\ dt}
\] A questo punto applichi la scomposizione in fratti semplici arrivando a una forma del tipo \[\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t}\] In particolare si trova \[\frac{-1}{t+1} + \frac{1}{t}\] Questo si integra piuttosto facilmente e si arriva alla soluzione finale.

Se hai altri dubbi non esitare a chiedere!

[Light1992]

I fratti semplici !!! Grazie ancora !

[minomic]

Prego!