Integrale con coordinate polari (estremi angolo $theta$)
Ciao ragazzi
non riesco a svolgere gli esercizi con coordinate polari relativi agli integrali doppi..
ho difficoltà nel determinare $theta$
ora spiego tutto
$int int$ $(xy)/(sqrt(x^2+y^2))dxdy$
questo è il dominio
$ (1<= x^2+y^2<=9)$
$(y>=0$ $y>= sqrt3/3x)$
ad esempio $theta$ è giusto dire che varia da $pi/6$ a $7/6$???
il libro mi dice $pi$ $pi/6$ ma non mi trovo..
Come si deve ragionare in generale per determinare $theta$
perchè non riesco mai a trovarmi ..
non riesco a svolgere gli esercizi con coordinate polari relativi agli integrali doppi..
ho difficoltà nel determinare $theta$
ora spiego tutto
$int int$ $(xy)/(sqrt(x^2+y^2))dxdy$
questo è il dominio
$ (1<= x^2+y^2<=9)$
$(y>=0$ $y>= sqrt3/3x)$
ad esempio $theta$ è giusto dire che varia da $pi/6$ a $7/6$???
il libro mi dice $pi$ $pi/6$ ma non mi trovo..
Come si deve ragionare in generale per determinare $theta$
perchè non riesco mai a trovarmi ..
Risposte
Ciao,
Credo che ti sia sfuggita la condizione y>0, che fa si che l'altro estremo sia $ pi $ .
Credo che ti sia sfuggita la condizione y>0, che fa si che l'altro estremo sia $ pi $ .
Ma ci eri andato vicino vicino!!
Allora quella che hai rappresentato tu è la soluzione della disequazione $y\ge \frac \sqrt 3 3 x$ adesso devi mettere a sistema questa soluzione con la soluzione dell'altra disequazione, ovvero $y\ge 0$ e così ti torna come dice giustamente il libro.
Allora quella che hai rappresentato tu è la soluzione della disequazione $y\ge \frac \sqrt 3 3 x$ adesso devi mettere a sistema questa soluzione con la soluzione dell'altra disequazione, ovvero $y\ge 0$ e così ti torna come dice giustamente il libro.
Ciao quindi diciamo ad occhio è facile sbagliarsi.. perchè a me veniva da dire $pi/6$ e $7/6 pi$
ma per mettere a sistema?
ce devo mettere a sistema $rhosentheta>=0$ che quindi il seno è positivo in questo caso nel primo e secondo quadrante giusto?
quindi $pi 0$
e poi la seconda condizione dove il seno è maggiore di $sqrt3/3$ che sarebbe il secondo quadrante $pi ,pi/2$
e metto a sistema giusto?
ma per mettere a sistema?
ce devo mettere a sistema $rhosentheta>=0$ che quindi il seno è positivo in questo caso nel primo e secondo quadrante giusto?
quindi $pi 0$
e poi la seconda condizione dove il seno è maggiore di $sqrt3/3$ che sarebbe il secondo quadrante $pi ,pi/2$
e metto a sistema giusto?
Se lo vuoi fare in maniera rigorosa io l'avrei fatto così :
$$
\begin{cases} \rho \sin \theta\geq 0 \\ \rho\sin\theta\geq \frac{\sqrt{3}}{3} \rho\cos\theta \end{cases} = \begin{cases} \sin \theta\geq 0 \\ \sin\theta\geq \frac{\sqrt{3}}{3} \cos\theta \end{cases}
$$
perché $\rho \ne 0$ e lo risolviamo, la prima è banale, la seconda è semplice ma bisogna stare attenti! Perché quella sotto si trasforma in due disequazioni ed una equazione.
Perché diventa:
$$
\begin{cases} 2k\pi\leq\theta\leq \pi+2k\pi \hspace{2pt},\hspace{2pt} k\in N \\ \tan\theta \geq\frac{\sqrt{3}}{3} \hspace{5pt} \text{se} \hspace{5pt} k\pi\leq \theta < \frac{\pi}{2} +k\pi \hspace{2pt},\hspace{2pt} k\in N \cup \tan\theta \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \hspace{5pt} \text{se} \hspace{5pt} \frac{\pi}{2} +k\pi < \theta \leq \pi +k\pi \hspace{2pt},\hspace{2pt} k\in N \cup \cos\theta=0\end{cases}
$$
dove l'ultima equazione è dovuta al fatto che per ottenere la tangente ho dovuto dividere per il coseno, e quindi imporre che esso sia diverso da zero, tuttavia se il coseno è nullo la disequazione originaria è verificata, quindi va tenuta in considerazione e unita alle soluzioni delle disequazioni con la tangente.
Di disequazioni con la tangente ne compaiono due, perché quando divido per il coseno, esso può essere sia positivo che negativo, quindi quando divido per un coseno positivo (primo caso di angoli) il verso della disequazione rimane invariato, quando invece divido per un coseno negativo(secondo caso) il verso della disequazione cambia perché sto dividendo per un numero negativo.
Non ti resta che risolvere il sistema ed arrivi al risultato.
$$
\begin{cases} \rho \sin \theta\geq 0 \\ \rho\sin\theta\geq \frac{\sqrt{3}}{3} \rho\cos\theta \end{cases} = \begin{cases} \sin \theta\geq 0 \\ \sin\theta\geq \frac{\sqrt{3}}{3} \cos\theta \end{cases}
$$
perché $\rho \ne 0$ e lo risolviamo, la prima è banale, la seconda è semplice ma bisogna stare attenti! Perché quella sotto si trasforma in due disequazioni ed una equazione.
Perché diventa:
$$
\begin{cases} 2k\pi\leq\theta\leq \pi+2k\pi \hspace{2pt},\hspace{2pt} k\in N \\ \tan\theta \geq\frac{\sqrt{3}}{3} \hspace{5pt} \text{se} \hspace{5pt} k\pi\leq \theta < \frac{\pi}{2} +k\pi \hspace{2pt},\hspace{2pt} k\in N \cup \tan\theta \leq \frac{\sqrt{3}}{3} \hspace{5pt} \text{se} \hspace{5pt} \frac{\pi}{2} +k\pi < \theta \leq \pi +k\pi \hspace{2pt},\hspace{2pt} k\in N \cup \cos\theta=0\end{cases}
$$
dove l'ultima equazione è dovuta al fatto che per ottenere la tangente ho dovuto dividere per il coseno, e quindi imporre che esso sia diverso da zero, tuttavia se il coseno è nullo la disequazione originaria è verificata, quindi va tenuta in considerazione e unita alle soluzioni delle disequazioni con la tangente.
Di disequazioni con la tangente ne compaiono due, perché quando divido per il coseno, esso può essere sia positivo che negativo, quindi quando divido per un coseno positivo (primo caso di angoli) il verso della disequazione rimane invariato, quando invece divido per un coseno negativo(secondo caso) il verso della disequazione cambia perché sto dividendo per un numero negativo.
Non ti resta che risolvere il sistema ed arrivi al risultato.
Grazie
se provo con $pi/6$ muovendomi in senso antiorario $7/6pi$ il risultato è lo stesso..
quindi puo andare bene?
quindi puo andare bene?
Non è fino a $\frac{7}{6}\pi$ ma solo fino a $\pi$ perché hai anche il vincolo della retta orizzontale $y>0$
In ogni caso non sei tu a decidere in che verso ti muovi! Proprio per come sono definiti gli angoli, se ti muovi da un angolo con un valore numerico più piccolo ad uno più grande allora PER DEFINIZIONE ti stai muovendo in senso anti orario, cioè se $\alpha<\beta$ e dici che stai andando da $\alpha$ a $\beta$ allora stai ruotando PER DEFINIZIONE in senso anti orario se invece dici che stai andando da $\beta$ ad $\alpha$ allora per definizione stati ruotando in senso orario.
Questo per la stessa ragione per cui sei(e siamo) abituai al fatto che PER CONVENZIONE se dico che vado da 2 a 3 allora mi sto muovendo da sinistra verso destra (se parlo di ascisse) o dal basso verso l'alto (se parlo di ordinate) mentre se dico che vado da 3 a 2 allora rispettivamente mi sto muovendo da destra a sinistra o dall'alto verso il basso.
In ogni caso non sei tu a decidere in che verso ti muovi! Proprio per come sono definiti gli angoli, se ti muovi da un angolo con un valore numerico più piccolo ad uno più grande allora PER DEFINIZIONE ti stai muovendo in senso anti orario, cioè se $\alpha<\beta$ e dici che stai andando da $\alpha$ a $\beta$ allora stai ruotando PER DEFINIZIONE in senso anti orario se invece dici che stai andando da $\beta$ ad $\alpha$ allora per definizione stati ruotando in senso orario.
Questo per la stessa ragione per cui sei(e siamo) abituai al fatto che PER CONVENZIONE se dico che vado da 2 a 3 allora mi sto muovendo da sinistra verso destra (se parlo di ascisse) o dal basso verso l'alto (se parlo di ordinate) mentre se dico che vado da 3 a 2 allora rispettivamente mi sto muovendo da destra a sinistra o dall'alto verso il basso.
Si ora mi trovo.. devo stare attento alle limitazioni imposte nel dominio...
lo stesso esercizio invece l'ho svolto con la sola condizione
$y>=-x$ e quindi in questo caso specifico $7/4pi$ $3/4pi$ se non ho capito male
ad ogni modo grazie del prezioso aiuto
lo stesso esercizio invece l'ho svolto con la sola condizione
$y>=-x$ e quindi in questo caso specifico $7/4pi$ $3/4pi$ se non ho capito male
ad ogni modo grazie del prezioso aiuto
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