Integrale con coordinate cilindriche

[LucaLiuk1]

Ciao ragazzi ho fatto l'esame di Analisi2 e volevo sapere se anche voi avreste provato a risolvere questo esercizio come l'ho provato a risolvere io.

____
Calcolare il seguente integrale triplo

$ int int int_(E)zlog(x^2+y^2)\ dx dy dz $

dove $E={(x,y,z)in R^3:\0<=1<=x^2+y^2<=2,\ 0<=z<=1}$
____

Io disegnando l'insieme $E$ ho trovato che è la parte compresa tra due cilindri con stessa altezza ma base circolare diversa ma centrata nell'origine degli assi.

Usando dunque le coordinate cilindriche ho posto:

$rho in [1,sqrt(2)]$
$theta in [0,2pi]$
$z in [0,1]$

L'integrale diventa allora:

$ int_(1)^(sqrt(2)) \ d rho * int_(0)^(2pi) \ d theta * int_(0)^(1) \ dz * z \ log(rho^2)* \ rho $

$ pi * int_(1)^(sqrt(2))\ rho \ log(rho^2)\ drho $

Quest'ultimo integrale si risolve con sostituzione e usando la regola per parti e diventa:

$ pi * (log(2)-1/2) $

Voi l'avresti risolto cosi?

[LucaLiuk1]

Grazie mille!!