Integrale con coordinate cilindriche
Ciao ragazzi ho fatto l'esame di Analisi2 e volevo sapere se anche voi avreste provato a risolvere questo esercizio come l'ho provato a risolvere io.
____
Calcolare il seguente integrale triplo
$ int int int_(E)zlog(x^2+y^2)\ dx dy dz $
dove $E={(x,y,z)in R^3:\0<=1<=x^2+y^2<=2,\ 0<=z<=1}$
____
Io disegnando l'insieme $E$ ho trovato che è la parte compresa tra due cilindri con stessa altezza ma base circolare diversa ma centrata nell'origine degli assi.
Usando dunque le coordinate cilindriche ho posto:
$rho in [1,sqrt(2)]$
$theta in [0,2pi]$
$z in [0,1]$
L'integrale diventa allora:
$ int_(1)^(sqrt(2)) \ d rho * int_(0)^(2pi) \ d theta * int_(0)^(1) \ dz * z \ log(rho^2)* \ rho $
$ pi * int_(1)^(sqrt(2))\ rho \ log(rho^2)\ drho $
Quest'ultimo integrale si risolve con sostituzione e usando la regola per parti e diventa:
$ pi * (log(2)-1/2) $
Voi l'avresti risolto cosi?
____
Calcolare il seguente integrale triplo
$ int int int_(E)zlog(x^2+y^2)\ dx dy dz $
dove $E={(x,y,z)in R^3:\0<=1<=x^2+y^2<=2,\ 0<=z<=1}$
____
Io disegnando l'insieme $E$ ho trovato che è la parte compresa tra due cilindri con stessa altezza ma base circolare diversa ma centrata nell'origine degli assi.
Usando dunque le coordinate cilindriche ho posto:
$rho in [1,sqrt(2)]$
$theta in [0,2pi]$
$z in [0,1]$
L'integrale diventa allora:
$ int_(1)^(sqrt(2)) \ d rho * int_(0)^(2pi) \ d theta * int_(0)^(1) \ dz * z \ log(rho^2)* \ rho $
$ pi * int_(1)^(sqrt(2))\ rho \ log(rho^2)\ drho $
Quest'ultimo integrale si risolve con sostituzione e usando la regola per parti e diventa:
$ pi * (log(2)-1/2) $
Voi l'avresti risolto cosi?



Risposte
Grazie mille!!
