Integrale con cambio di variabile?

[robying1]

Salve a tutti.
All'interno di un esercizio di calcolo differenziale mi sono ritrovato a dover risolvere questo integrale:
$ int_()^() log(x+root()(1+x^2 )) dx $
Non so come procedere...
Anche se cambio la variabile che giovamento ne potrei trarre?
Mi sto dimenticando qualche proprietà del log?
Chi mi da qualche "spunto"?
Grazie

[robying1]

Grazie TeM, non ci sarei maaaaai arrivato
Quindi dovrei ottenere:
$ x log(x+root()(1+x^2) )-int_()^() x 1/((x+root()(1+x^2)))(1+1/(2root() (1+x^2)))dx $
Ma non mi sembra di aver "semplificato" molto la situazione
Adesso impongo il cambio di variabile:
$ 1+x^2=t $
e
$ x=(t-1)(t+1) $
Come vado?

[robying1]

"TeM": In sostanza, devi ricordare che \[ \frac{d}{dx} \sqrt[n]{f(x)} = \frac{f'(x)}{n\sqrt[n]{f(x)^{n-1}}} \; . \] A questo punto, somma tra parentesi e apporta tutte le semplificazioni possibili all'integranda.
Solo a quel punto passa alla sostituzione

Grazie TeM
ma trovo:
$ xlog(x+root()(1+x^2))- int_()^() (x(x+root()(1+x^2)))/(xroot()(1+x^2)+(1+x^2 )) dx $
Quindi ora ha senso sostituire:
$1+x^2=t^2$
e
$root()(1+x^2)=t$
Ma il dx come lo calcolo?

[robying1]

"TeM":
Allora, fai così. Apri un bel dizionario e studiati per bene la definizione di "semplificazione".

...nella mia "presentazione" l'ho scritto che purtroppo ho grosse lacune.
Purtroppo anche i passaggi più semplici mi trascinano nel "baratro" dell'ignoranza sull'argomento.
Vediamo se però ho capito come fare il cambio di variabile:
l'integrale di partenza è
$ -int_()^() x/(root()(1+x^2)) dx $
applico il cambio di variabile come segue
$root()(1+x^2)=t $
$x=root()(t^2-1) $
infine
$dx=(2t/(2root()(t^2-1))dt $
Da cui trovo come soluzione dell'integrale
$-t (+cost) $
cioè
$-root()(1+x^2) $
Come va così?

[robying1]

"TeM":
Non ti preoccupare, era puramente ironica. Lungi da me giudicare

Sì sì, lo so. Mi hai già aiutato tante e tante volte.

"TeM":
Per quanto riguarda i passaggi che hai scritto sono sostanzialmente corretti.

"TeM":
Ti mostro una via meno tortuosa che magari può farti comodo in futuro. \[ - \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx = - \frac{1}{2} \int\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}dx \]

Non sapevo si potesse fare una cosa del genere...
Quindi da questo passaggio avrei anche potuto utilizzare subito questa formula di integrazione senza cambio di variabili:
$ int_()^() (f'(x))/(root()(f(x))) dx = 2 root()(f(x))+c $

"TeM":
ove, ponendo \( t = 1+x^2\,, \; \; dt = 2x\,dx \), si ottiene \[ - \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}}\,dt = - \frac{1}{2}\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + c = - \sqrt{t} + c = - \sqrt{1+x^2} + c \; . \] Chiaro?

Chiarissimo, grazie

[robying1]

Esco dal titolo del topic per ricontestualizzare l'integrale.
Il testo originale dell'esercizio era:
$ y'=(1+y^2)log(x+root()(1+x^2)) $
con
$y(0)=0 $
da cui
ero arrivato a :
$ arctg(y)= $ l'altra parte è rappresentata dall'integrale di cui sopra
dovrei quindi calcolare l'integrale come
$ int_(0)^(x) -root()(1-x^2) dx $
ottenendo
$ -root()(1-x^2)+1 $
come risultato che mi porterebbe a
$ arctg(y)=xlog(x+root()(1+x^2))-root()(1+x^2)+1 $
e infine
$ y = tg [xlog(x+root()(1+x^2))-root()(1+x^2)+1] $
Giusto?
Oppure devo fare altro che ignoro?

[robying1]

Grazie ancora TeM