Integrale con cambio di coordinate

[Chiara914]

$ A={(x,y,z) |x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r^{2}, z^{2} \geq x^2+y^2} r>0$ Per calcolare la misura di questo sottoinsieme (integrale della funzione costante 1 su A) ho provato ad usare sia le coordinate cilindriche che sferiche ma non sono riuscita ad arrivare fino in fondo. Voi che cambiamento di variabile usereste?

[Chiara914]

Chiarissimo! Grazie mille!

[gugo82]

Il modo "più elegante", di solito, è quello che cosente di fare meno conti... Quindi, di solito, non coincide mai col calcolo di integrali multipli.

Il volume si può calcolare in modo molto più elementare, con integrali di funzioni di una variabile, con formule note dalle scuole secondarie.
Il solido è ottenuto facendo ruotare intorno all'asse \(z\) il rettangoloide subordinato alla funzione:
\[
f(z) := \begin{cases} z &\text{, se } 0\leq z\leq R/\sqrt{2}\\
\sqrt{R^2-z^2} &\text{, se } R/\sqrt{2}\leq z\leq R
\end{cases}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
|A| &= \pi\ \int_0^R f^2(z)\ \text{d} z \\
&= \pi\ \int_0^{R/\sqrt{2}} z^2\ \text{d} z + \pi\ \int_{R/\sqrt{2}}^R (R^2-z^2)\ \text{d} z\\
&= \pi\ \frac{2-\sqrt{2}}{3}\ R^3\; .
\end{split}
\]

Altrimenti, ancora più semplicemente, si può calcolare solo il volume della calotta ed usare la formula del volume del cono nota dalla geometria elementare.

[Chiara914]

Grazie anche a te gugo82,ma a me serviva proprio il calcolo mediante integrali multipli!