Integrale con arctg

[Beerk]

Ciao ragazzi, esercitandomi su questo limite trovo una situazione strana, vi spiego:

$ int_()^() sqrtx *arctg(sqrtx) dx $

Pongo:
$ sqrtx=t $
$ dx=2t $

L'integrale diventa:

$ dx=2tint_()^() 2t^2 * arctg(t) dt $

Procedo PER PARTI:

$ 2 [t^3/3*arctg(t)-1/3*int_()^() t^3*(1/(1+t^2)) dt ] $

PROCEDO ANCORA PER PARTI:

$ 2 [t^3/3*arctg(t)-1/3*( arctg(t)*t^3-int_()^() arctg(t)*3t^2 dt) ] $

Il mio intento è quello di trovarmi la stessa forma di integrale a destra e sinistra, quindi esplicitare l'ntegrale e trattarlo proprio come l'incognita di un'equazione (mi capita spesso di farlo negli esercizi).
Il problema è che in questo caso i due membri a destra dell'equazione si annullano!

Vorrei sapere se ho fatto qualche errore, se questo metodo non sempre è valido, e, nel caso dovessi trovarmi in situazioni del genere, cosa dovrei dedurre.
Grazie

[AmarildoA]

(Non mi sembra un limite )
Io svilupperei per parti:
$\color{green}{u=\arctan (\sqrt{x}),\u'=\frac{1}{2\sqrt{x}(x+1)},v'=\sqrt{x},v=\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}}$

$$\int \sqrt{x}\arctan \left(\sqrt{x}\right)dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\arctan \left(\sqrt{x}\right)-\int \frac{x}{3\left(x+1\right)}dx$$

Spero ti sia d'aiuto...

[AmarildoA]

Procedo PER PARTI:

$ 2 [t^3/3*arctg(t)-1/3*int_()^() t^3*(1/(1+t^2)) dt ] $

Nel tuo caso invece vorrei farti notare che a questo punto è conveniente procedere con la divisione dei polinomi nell'integrale, oppure applicare la seguente sostituzione e continuare:
$u=t^2+1\quad, \du=2tdt$