Integrale con arctag
Salve a tutti, devo risolvere il seguente integrale, ho applicato l'integrazione per parti, ma non sono molto sicuro che sia corretta volevo sapere una vostra opinione.
\(\displaystyle \int x*arctg(\frac{1}{x-1})=\frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})-\int \frac{x^2}{2}\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2+1}\frac{-1}{(x-1)^2}= \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2}\int x^2\frac{1}{(x-1)^2+1}\)
\(\displaystyle \int x*arctg(\frac{1}{x-1})=\frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})-\int \frac{x^2}{2}\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2+1}\frac{-1}{(x-1)^2}= \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2}\int x^2\frac{1}{(x-1)^2+1}\)
Risposte
Pare di sì... Continua. 
Per continuare devo fare l'integrale sempre per parti oppure debbo usare il metodo di decomposizione dei fratti semplici?
\(\displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^2+1}\) sarebbe il logaritmo giusto, perché ho qualche dubbio.
Ho pensato di fare cosi, ma non sono molto convinto.
\( \displaystyle \int x*arctg(\frac{1}{x-1})= \\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})-\int \frac{x^2}{2}\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2+1}\frac{-1}{(x-1)^2}= \\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2}\int x^2\frac{1}{(x-1)^2+1}= \\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2}\int \frac{x^2-2x+2x+2-2}{(x-1)^2+1} = \\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2} \left [ \int \frac{x^2-2x+2x+2-2}{(x-1)^2+1} \right ]=
\\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2} \left [ \int \frac{x^2-2x+2}{x^2-2x+2} + \int\frac{2x-2}{x^2-2x+2} \right ]=
\\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2} \left [ \int 1 + \int\frac{2x-2}{x^2-2x+2} \right ]=
\\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}ln(x^2-2x+2)+c\)
@gugo82 Ma mi sembra che manchi qualcosa, dove sbaglio?
\(\displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^2+1}\) sarebbe il logaritmo giusto, perché ho qualche dubbio.
Ho pensato di fare cosi, ma non sono molto convinto.
\( \displaystyle \int x*arctg(\frac{1}{x-1})= \\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})-\int \frac{x^2}{2}\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2+1}\frac{-1}{(x-1)^2}= \\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2}\int x^2\frac{1}{(x-1)^2+1}= \\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2}\int \frac{x^2-2x+2x+2-2}{(x-1)^2+1} = \\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2} \left [ \int \frac{x^2-2x+2x+2-2}{(x-1)^2+1} \right ]=
\\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2} \left [ \int \frac{x^2-2x+2}{x^2-2x+2} + \int\frac{2x-2}{x^2-2x+2} \right ]=
\\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{1}{2} \left [ \int 1 + \int\frac{2x-2}{x^2-2x+2} \right ]=
\\ \frac{x^2}{2}arctg(\frac{1}{x-1})+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}ln(x^2-2x+2)+c\)
@gugo82 Ma mi sembra che manchi qualcosa, dove sbaglio?
"angelok90":Perché dovrebbe mancare qualcosa? Tutto giusto
Ma mi sembra che manchi qualcosa, dove sbaglio?
@seb: Ti ringrazio, il fatto che con wolfram alpha ci sono altri valori.
Quindi per questo presuppongo che sia sbagliata.
Ho pensato che \(\displaystyle 2x-2=2(x-1) \) poi il 2 lo portavo fuori \(\displaystyle 2\int (x-1) \frac{1}{x^2-2x+2}\)
su questo potevo ancora fare l'integrazione per parti.
Sto sbagliando?
Quindi per questo presuppongo che sia sbagliata.
Ho pensato che \(\displaystyle 2x-2=2(x-1) \) poi il 2 lo portavo fuori \(\displaystyle 2\int (x-1) \frac{1}{x^2-2x+2}\)
su questo potevo ancora fare l'integrazione per parti.
Sto sbagliando?
L'avevi risolto in maniera più che corretta prima. È un problema che tu creda tale precedente risoluzione errata.
Ho guardato quale risultato porge wolframalpha: è equivalente; infatti il risultato lì proposto è:\[\frac{1}{2}\left((x^2-1)\arctan{\frac{1}{x-1}}+x+\ln{[(x-1)^2+1]}+\arctan{(1-x)}-1\right)+\alpha,\quad\alpha\in\mathbb{R}\]Innanzitutto va notato che l'arcotangente è dispari, quindi: \(\arctan{(1-x)}=-\arctan{(x-1)}\). In secondo luogo si ha:\[\arctan{x}=\begin{cases}-\arctan{\frac{1}{x}}-\frac{\pi}{2},\;\;\text{se }\,x<0\\-\arctan{\frac{1}{x}}+\frac{\pi}{2},\;\;\text{se }\,x>0\end{cases}\]Tenendo conto della prima osservazione, il risultato fornito da wolframalpha si riscrive come:\[\frac{1}{2}\left((x^2-1)\arctan{\frac{1}{x-1}}+x+\ln{[(x-1)^2+1]}+\arctan{(1-x)}-1\right)+\alpha=\frac{1}{2}\left(x^2\arctan{\frac{1}{x-1}}-\arctan{\frac{1}{x-1}}+x+\ln{(x^2-2x+2)}-\arctan{(x-1)}\right)+\beta\]con \(\mathbb{R}\ni\beta=\alpha-\frac{1}{2}\). Ora non rimane che utilizzare la seconda osservazione, ottenendo:\[\frac{x^2}{2}\arctan{\frac{1}{x-1}}+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln{(x^2-2x+2)}+\gamma\]ove a te non importa sapere quanto vale tale \(\gamma\), a te interessa solamente sapere che è una costante; peraltro:\[\gamma=\begin{cases}\beta+\frac{\pi}{4},\;\;\text{se }\,x<1\\\beta-\frac{\pi}{4},\;\;\text{se }\,x>1\end{cases}\]
Ho guardato quale risultato porge wolframalpha: è equivalente; infatti il risultato lì proposto è:\[\frac{1}{2}\left((x^2-1)\arctan{\frac{1}{x-1}}+x+\ln{[(x-1)^2+1]}+\arctan{(1-x)}-1\right)+\alpha,\quad\alpha\in\mathbb{R}\]Innanzitutto va notato che l'arcotangente è dispari, quindi: \(\arctan{(1-x)}=-\arctan{(x-1)}\). In secondo luogo si ha:\[\arctan{x}=\begin{cases}-\arctan{\frac{1}{x}}-\frac{\pi}{2},\;\;\text{se }\,x<0\\-\arctan{\frac{1}{x}}+\frac{\pi}{2},\;\;\text{se }\,x>0\end{cases}\]Tenendo conto della prima osservazione, il risultato fornito da wolframalpha si riscrive come:\[\frac{1}{2}\left((x^2-1)\arctan{\frac{1}{x-1}}+x+\ln{[(x-1)^2+1]}+\arctan{(1-x)}-1\right)+\alpha=\frac{1}{2}\left(x^2\arctan{\frac{1}{x-1}}-\arctan{\frac{1}{x-1}}+x+\ln{(x^2-2x+2)}-\arctan{(x-1)}\right)+\beta\]con \(\mathbb{R}\ni\beta=\alpha-\frac{1}{2}\). Ora non rimane che utilizzare la seconda osservazione, ottenendo:\[\frac{x^2}{2}\arctan{\frac{1}{x-1}}+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\ln{(x^2-2x+2)}+\gamma\]ove a te non importa sapere quanto vale tale \(\gamma\), a te interessa solamente sapere che è una costante; peraltro:\[\gamma=\begin{cases}\beta+\frac{\pi}{4},\;\;\text{se }\,x<1\\\beta-\frac{\pi}{4},\;\;\text{se }\,x>1\end{cases}\]
@Seb: ti ringrazio delle tue risposte, cosa intendi che l'arcotangente è dispari?
Quindi come l'avevo risolta prima, va più che bene.
Posso chiederti una cosa?
Il testo dell'esercizio dice: assegnata la funzione dire se la funzione ammette primitive ed eventualmente, determinarle dire se è integrabile secondo Riemann, eventualmente calcolare il valore dell'integrale.
\(\displaystyle f(x)= \begin{equation}
\begin{cases}
x*arctg(\frac{1}{x-1}), x\epsilon ]1,2] =>(1)\\ln x, x\epsilon [\frac{1}{2},1]=>(2)
\end{cases}
\end{equation} \)
Quindi ammette entrambe le primitive.
Come faccio a dire se è integrabile secondo Rienmann, eventualmente calcolare il valore dell'integrale?
Per calcolare l'integrale intende dire che devo calcolare integrale definito dei punti richiesti?
Quindi come l'avevo risolta prima, va più che bene.
Posso chiederti una cosa?
Il testo dell'esercizio dice: assegnata la funzione dire se la funzione ammette primitive ed eventualmente, determinarle dire se è integrabile secondo Riemann, eventualmente calcolare il valore dell'integrale.
\(\displaystyle f(x)= \begin{equation}
\begin{cases}
x*arctg(\frac{1}{x-1}), x\epsilon ]1,2] =>(1)\\ln x, x\epsilon [\frac{1}{2},1]=>(2)
\end{cases}
\end{equation} \)
Quindi ammette entrambe le primitive.
Come faccio a dire se è integrabile secondo Rienmann, eventualmente calcolare il valore dell'integrale?
Per calcolare l'integrale intende dire che devo calcolare integrale definito dei punti richiesti?
"angelok90":
cosa intendi che l'arcotangente è dispari?
Per affrontare esercizi come il seguente dovresti già sapere cos'è una funzione dispari. "angelok90":Direi che fa parte di un altro topic. (Suggerimento: limitatezza)
Il testo dell'esercizio dice: assegnata la funzione dire se la funzione ammette primitive ed eventualmente, determinarle dire se è integrabile secondo Riemann, eventualmente calcolare il valore dell'integrale.
\(\displaystyle f(x)= \begin{equation}
\begin{cases}
x*arctg(\frac{1}{x-1}), x\epsilon ]1,2] =>(1)\\ln x, x\epsilon [\frac{1}{2},1]=>(2)
\end{cases}
\end{equation} \)
Quindi ammette entrambe le primitive.
Come faccio a dire se è integrabile secondo Rienmann, eventualmente calcolare il valore dell'integrale?
Per calcolare l'integrale intende dire che devo calcolare integrale definito dei punti richiesti?
Dici di verificare se la funzione è limitata inferiormente e superiormente?
Non solo, dico anche che a parer mio il nuovo quesito fa parte di un altro topic. Eventualmente: quali sono i criteri di integrabilità secondo Riemann? Cosa non ti torna nell'applicarli?
Aprirò un nuovo topic, consigli per il titolo non vorrei che essere rimproverato dai moderatori. 
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