Integrale con arcotangente
$int arctan(1-sqrtx)dx$
allora io avevo pensato di effettuare prima una sostituzione
$(1-sqrtx)=t$
$x=(1-t)^2$
$dx=-2(1-t)$
e dunque mi ritovo a risolvere un integrale della forma
$-2intarctan(t^2-t)dt$
a questo punto ho eseguito per parti ponendo $F=t$ e $g=arctan(t^2-t)$
svolgendo però non mi trovo con il risultato
fino a questo punto ho fatto bene oppure è già sbagliato?
allora io avevo pensato di effettuare prima una sostituzione
$(1-sqrtx)=t$
$x=(1-t)^2$
$dx=-2(1-t)$
e dunque mi ritovo a risolvere un integrale della forma
$-2intarctan(t^2-t)dt$
a questo punto ho eseguito per parti ponendo $F=t$ e $g=arctan(t^2-t)$
svolgendo però non mi trovo con il risultato
fino a questo punto ho fatto bene oppure è già sbagliato?
Risposte
Una cosa mi sfugge: se hai sostituito$t=1-sqrt(x)$, come puoi trovare dentro l'arcotangente $t^2-t$?
Fai bene i calcoli.
Fai bene i calcoli.
perchè mi viene $arctant*(1-t)$
Ah, quindi poiché l'arcotangente è lineare trovi $arctan t * (1-t) = arctan(t-t^2)$...
Guarda, meglio che lasci perdere gli integrali e vai a ripeterti le proprietà delle funzioni elementari o, meglio, l'uso delle parentesi nella notazione matematica.
Guarda, meglio che lasci perdere gli integrali e vai a ripeterti le proprietà delle funzioni elementari o, meglio, l'uso delle parentesi nella notazione matematica.
evidentemente non è cosi...ma dove sbaglio? cioè sarebbe $intarctant (1-t)dt$
cioè solo $t$ è argomento di $arctan$?
cioè solo $t$ è argomento di $arctan$?
"lepre561":
evidentemente non è cosi...ma dove sbaglio?
"gugo82":
Guarda, meglio che lasci perdere gli integrali e vai a ripeterti le proprietà delle funzioni elementari o, meglio, l'uso delle parentesi nella notazione matematica.
per favore...non risco a capire l'errore
"lepre561":
per favore...non risco a capire l'errore
Non riesci perché non hai capito le proprietà delle funzioni di base e/o non hai capito (dalle scuole) a che servono le parentesi e come/quando sono omesse in certe notazioni comuni.
Ad esempio:
- [*:vj76xpj2] $arctan 2 = 2*arctan 1$: Vero o Falso?
[/*:m:vj76xpj2]
[*:vj76xpj2] $arctan 1 * x = arctan x$: Vero o Falso?
[/*:m:vj76xpj2]
[*:vj76xpj2] $1/x*arctan x = arctan 1$: Vero o Falso?
[/*:m:vj76xpj2]
[*:vj76xpj2] $arctan x * 1/x = arctan 1$: Vero o Falso?
[/*:m:vj76xpj2]
[*:vj76xpj2] $f(x)* x = f(x^2)$: Vero o Falso?
[/*:m:vj76xpj2]
[*:vj76xpj2] $ x*f(x) = x^2*f(1)$: Vero o Falso?[/*:m:vj76xpj2][/list:u:vj76xpj2]
[hide="Intervento che non segue lo sviluppo del thread"]Ciao lepre561,
Ce ne sono diversi di errori...
Innanzitutto se poni $t := 1 - sqrt{x} \implies dt = - 1/(2 sqrt{x)} dx \implies dx = - 2(1 - t) dt $ (hai dimenticato il $dt$) è evidente che l'argomento della funzione arcotangente è $t$, per cui si ha:
$ \int arctan(1-sqrtx) dx = - 2 \int (1 - t) arctan(t) dt = - 2 \int arctan(t) dt + 2 \int t arctan(t) dt $
Ora integrando per parti dovresti riuscire a proseguire...[/hide]
Ce ne sono diversi di errori...
Innanzitutto se poni $t := 1 - sqrt{x} \implies dt = - 1/(2 sqrt{x)} dx \implies dx = - 2(1 - t) dt $ (hai dimenticato il $dt$) è evidente che l'argomento della funzione arcotangente è $t$, per cui si ha:
$ \int arctan(1-sqrtx) dx = - 2 \int (1 - t) arctan(t) dt = - 2 \int arctan(t) dt + 2 \int t arctan(t) dt $
Ora integrando per parti dovresti riuscire a proseguire...[/hide]
per mesono tutte false tranne il penultimo che sembrerebbe vero
però ad esempio $arctan(1*x)=arctanx$ io risponderei vero
però ad esempio $arctan(1*x)=arctanx$ io risponderei vero
[quote=pilloeffe][/quote]
non lo vedo il testo
[xdom="gugo82"]Non vedi il testo perché lo staff ha deciso di non renderlo visibile, in quanto contiene la soluzione dell'esercizio e non si raccorda in alcun modo sensato col discorso preliminare e propedeutico a qualsiasi procedimento che viene portato avanti qui.
D'altra parte, non è la prima volta che pilloeffe interviene in discussioni in questo modo: il presente avviso vale anche come richiamo.[/xdom]
non lo vedo il testo
[xdom="gugo82"]Non vedi il testo perché lo staff ha deciso di non renderlo visibile, in quanto contiene la soluzione dell'esercizio e non si raccorda in alcun modo sensato col discorso preliminare e propedeutico a qualsiasi procedimento che viene portato avanti qui.
D'altra parte, non è la prima volta che pilloeffe interviene in discussioni in questo modo: il presente avviso vale anche come richiamo.[/xdom]
giusto?
Sono tutte incredibilmente false (in generale, si intende).
In particolare, quella che ritieni plausibile, cioè $arctan 1 * x = arctan x$, ti sembra vera perché non hai chiaro che la scrittura $arctan 1 * x$, con le parentesi omesse, va interpretata così:
\[
\arctan 1\cdot x = (\arctan 1)\cdot x\; .
\]
Infatti, quando non ci sono parentesi che specifichino il contrario, l'argomento dell'arcotangente (come quello di qualsiasi altra funzione elementare) si estende fino al primo segno di operazione: ad esempio, $arctan 2x+37 = arctan(2x) + 37 $ e non $=arctan (2x+37)$; oppure $arcsinsqrt(1-x^2) + sqrt(1-x^2) = (arcsin(sqrt(1-x^2))) + sqrt(1-x^2)$ e non $=arcsin (2sqrt(1-x^2))$; etc...
In particolare, quella che ritieni plausibile, cioè $arctan 1 * x = arctan x$, ti sembra vera perché non hai chiaro che la scrittura $arctan 1 * x$, con le parentesi omesse, va interpretata così:
\[
\arctan 1\cdot x = (\arctan 1)\cdot x\; .
\]
Infatti, quando non ci sono parentesi che specifichino il contrario, l'argomento dell'arcotangente (come quello di qualsiasi altra funzione elementare) si estende fino al primo segno di operazione: ad esempio, $arctan 2x+37 = arctan(2x) + 37 $ e non $=arctan (2x+37)$; oppure $arcsinsqrt(1-x^2) + sqrt(1-x^2) = (arcsin(sqrt(1-x^2))) + sqrt(1-x^2)$ e non $=arcsin (2sqrt(1-x^2))$; etc...
quindi nel mio caso è $arctan(t)*(1-t)$??
E già.
E come si integra $(1-t)*arctan t$?
In generale, come si integra $p(t)*arctan t$ con $p$ polinomio?
E come si integra $(1-t)*arctan t$?
In generale, come si integra $p(t)*arctan t$ con $p$ polinomio?
per parti?
si
però non riesco a uscirne a capo...
$-2[(t-t^2/2)arctant-int(t-t^2/2)*(1/(1+t^2))]$
vi trovate che inizia cosi l'integrazione per parti?
$-2[(t-t^2/2)arctant-int(t-t^2/2)*(1/(1+t^2))]$
vi trovate che inizia cosi l'integrazione per parti?
Sì lepre561, ti consiglio di scrivere
$$-2 \int (1-t) \arctan t \text{d}t =-2 \left(\int (\arctan t - t \arctan t) \text{d}t \right)=-2 \left(\int \arctan t \text{d}t -\int t \arctan t \text{d}t \right)=$$
$$=-2\int \arctan t \text{d}t +2 \int t \arctan t \text{d}t$$
E risolvere separatamente gli integrali, ma anche come hai fatto tu va bene!
$$-2 \int (1-t) \arctan t \text{d}t =-2 \left(\int (\arctan t - t \arctan t) \text{d}t \right)=-2 \left(\int \arctan t \text{d}t -\int t \arctan t \text{d}t \right)=$$
$$=-2\int \arctan t \text{d}t +2 \int t \arctan t \text{d}t$$
E risolvere separatamente gli integrali, ma anche come hai fatto tu va bene!
proseguendo con il tuo metodo che mi sembra ad occhio più fattibile
ottengo
$-2intarctantdt=-2tarctant+ln|1+t^2|$
$2inttarctant=t^2arctant-t+arctant$
quindi il risultato finale è
$-2arctant+ln|1+t^2|+t^2arctant-t+arctant$
giusto? a questo punto posso fare dei raccoglimenti e se si quali?
ottengo
$-2intarctantdt=-2tarctant+ln|1+t^2|$
$2inttarctant=t^2arctant-t+arctant$
quindi il risultato finale è
$-2arctant+ln|1+t^2|+t^2arctant-t+arctant$
giusto? a questo punto posso fare dei raccoglimenti e se si quali?
"lepre561":
$-2arctant+ln|1+t^2|+t^2arctant-t+arctant$
Manca una $t$ che moltiplica $-2 \arctan t$, il valore assoluto è superfluo (perché?) e manca la costante $c$.
"lepre561":
a questo punto posso fare dei raccoglimenti e se si quali?
Scusami lepre561, stai facendo gli integrali e hai dei dubbi sui raccoglimenti a fattor comune? A parte che a livello di primitiva non cambia, ma se hai questi dubbi dovresti fare marcia indietro
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