Integrale con 2 variabili diverse

[katiat89]

Scusate, come risolvo questo integrale? il mio problema è che mi ritrovo con 2 variabili diverse, la x e la t...come faccio?

$\int_0^x(t-1)*e^(-(t-1)^2)$

GRAZIE

[Megan00b]

La t è una variabile di integrazione, la x è un parametro che definisce l'estremo superiore dell'intervallo su cui integri, quindi devi trattarla come se fosse un numero. Il risultato che otterrai dipenderà dal parametro x e dunque potrai considerarla come una funzione della x.

[Injo]

Sono questi problemi coi quali ci si scontra omettendo il $dt$

[katiat89]

una cosa...io ho fatto:

$y=-(t-1)^2$
$dy=-2*(t-1)dt$

risultato: $-1/2*\int_0^x -2*e^y dy$
cioè $\int_0^x e^y

sempre che questo sia giusto...

adesso lo 0 e la X li devo sostituire a $e^y$ oppure prima risostituisco a $y$ il $-(t-1)^2$ e poi metto 0 e X in a $e^(-(t-1))^2$ ???
Grazie

[Gauss91]

teorema fondamentale del calcolo integrale: se fosse un indefinito, sarebbe uguale a $inte^ydy=e^y = e^(-(t-1)^2)$, ricordandoti ke è $y = -(t-1)^2$.
sarà dunque $int_0^xe^ydy = [e^(-(t-1)^2)]_0^x = e^(-(x-1)^2) - e^(-1)$, sempre ke la risoluzione dell'integrale sia giusta.

[katiat89]

Grazie, GIUSTISSIMO!
un'altra cosa...il problema è che a me è venuto il dubbio perchè l'integrale qui sotto il prof me lo svolge così:

$\int_0^(pi/4) x*senx^2 dx$

$x=sqrt(t)$
quindi $x^2=t$
perciò se $x in [0;pi/4]$ il prof mi cambia gli estremi per adattarli a $t$, mi fa diventare $t in [0;(pi^2)/16]$ e così alla fine non devo più risostituire $x$ a $t$.

e fin qui l'ho capito, il problema è: che differenza c'è tra questo caso e quello che avevo scritto all'inizio...alla fine sono tutti e 2 integrali definiti...perchè nel primo non faccio questa sostituzione? è solo una questione di comodità che si applica ad alcuni integrali per renderli più semplici oppure c'è una regola precisa?

[Gauss91]

vedrai che il risultato non cambia: nel tuo caso, adattando gli intervalli si ha immediatamente $int_(-1)^(-(x-1)^2)e^ydy$, che porta proprio allo stesso risultato trovato.
Il punto è che adattando gli intervalli, non c'è bisogno di tornare indietro a risostituire la variabile, perché così facendo, essendo un integrale definito, hai cambiato variabile ma ti ritrovi con un integrale in tutto equivalente al primo.
Dipende tutto dalla facilità o meno di adattare gli intervalli o in definitiva da come vuoi tu!

[katiat89]

Grazie! chiarissimo e gentilissimo!!! finalmente tutto risolto...